高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHAUSHEJI3.2.2双曲线的简单几何性质第三章2021内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释思维脉络1.了解双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等简单几何性质.(数学抽象)2.能够根据双曲线的几何性质解决有关问题.(数学运算)课前篇自主预习[激趣诱思]火电厂、核电站的循环水自然通风冷却塔是一种大型薄壳型构筑物.建在水源不十分充足的地区的电厂,为了节约用水,需建造一个循环冷却水系统,以使得冷却器中排出的热水在其中冷却后可重复使用.大型电厂采用的冷却构筑物多为双曲线形冷却塔.这样从结构稳定,强度高,能够获得更大的容积.气流顺畅,对流冷却效果好,造型美观.建造这种冷却塔时要考虑到最小半径和上、下口的半径,如何确定这些数据?[知识点拨]双曲线的几何性质性质性质名师点析1.双曲线有“四点”(两个焦点、两个顶点)、“四线”(两条对称轴、两条渐近线),椭圆是封闭性曲线,而双曲线是开放性曲线;双曲线有两支,故在应用时要注意点在哪一支上;根据方程判断焦点的位置时,注意双曲线与椭圆的差异性.2.如果双曲线的方程确定,那么其渐近线的方程是确定的,但如果双曲线的渐近线确定,那么其对应的双曲线有无数条,具有共同渐近线的双曲线方程可设为x2a2−y2b2=λ(λ≠0),当λ>0时,对应的双曲线焦点在x轴上,当λ<0时,对应的双曲线焦点在y轴上.3.因为e=ca=ටa2+b2a2=ට1+ቀbaቁ2,所以ba=ටe2-1,所以离心率的大小决定了渐近线斜率的大小,从而决定了双曲线张口的大小,离心率越大,张口越大,离心率越小,张口越小.4.等轴双曲线是指实轴长与虚轴长相等的双曲线,其渐近线方程为y=±x,离心率等于ξ2.微思考椭圆中要求a>b>0,在双曲线中a,b是否也要满足该条件?提示不是,在双曲线中,a,b没有大小关系,只需a>0,b>0.微练习已知双曲线的方程为9x2-y2=81,求双曲线的范围、实轴长、虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、离心率及渐近线方程.解将9x2-y2=81变形为x29−y281=1,由此可得a=3,b=9,∴c=3ξ10. y2≥0,∴x29≥1,即x≥3或x≤-3.∴双曲线的范围为y∈R,x≥3或x≤-3;实轴长为2a=6;虚轴长为2b=18;顶点坐标为(±3,0);焦点坐标为(±3ξ10,0);离心率e=𝑐𝑎=3ξ103=ξ10;渐近线方程为y=±3x.微拓展2.共轭双曲线(1)定义:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,与原双曲线是一对共轭双曲线.(2)共轭双曲线的性质:①有相同的渐近线;②有不同的离心率,离心率倒数的平方和为1.1.与双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)共渐近线的双...
