高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2.3函数的奇偶性与周期性第二章2022内容索引0102必备知识预案自诊关键能力学案突破必备知识预案自诊【知识梳理】1.函数的奇偶性奇偶性偶函数奇函数定义一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有,且,则称y=f(x)为偶函数,则称y=f(x)为奇函数图像特征关于对称关于对称-x∈Df(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)y轴原点2.函数的周期性(1)周期函数一般地,对于函数f(x),如果存在一个T,使得对定义域内的,都满足,那么就称函数f(x)为周期函数,T称为这个函数的周期.(2)最小正周期对于一个周期函数f(x),如果在它的所有周期中存在一个,那么这个就称为f(x)的最小正周期.(3)周期不唯一:若T是函数y=f(x)(x∈R)的一个周期,则nT(n∈Z且n≠0)也是函数f(x)的周期,即f(x+nT)=f(x).非零常数每一个xf(x+T)=f(x)非零常数最小的正数最小的正数常用结论1.函数奇偶性的五个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在x=0处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0.(2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).(3)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.(4)在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.(5)只有f(x)=0(定义域是关于原点对称的非空数集)既是奇函数又是偶函数.常用结论2.周期性的三个常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x(a,b为非零常数):(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a;(2)若f(x+a)=,则T=2a;(3)若f(x+a)=f(x-b),则T=a+b.±1f(x)常用结论(2)若对于R上的任意x都有f(2a-x)=f(x)或f(-x)=f(2a+x),则y=f(x)的图像关于直线x=a对称.(3)若函数y=f(x+b)是奇函数,即f(-x+b)+f(x+b)=0,则函数y=f(x)的图像关于点(b,0)中心对称;(4)若y=f(x)对任意的x∈R,都有f(a-x)=f(b+x),则函数y=f(x)的图像关于直线x=对称;都有f(a-x)=b-f(x),即f(a-x)+f(x)=b,则函数y=f(x)的图像关于点中心对称.𝑎+𝑏2(a2,b2)3.对称性的四个常用结论(1)若函数y=f(x+a)是偶函数,即f(a-x)=f(a+x),则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称.【考点自诊】1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)若函数f(x)为奇函数,则一定有f(0)=0.()(2)若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图像关于点(b,0)中心对称.()(3)如果函数f(x),g(x)是定义域相同的偶函数,那么F(x)=f(x)+g(x)是偶函数.()(4)已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,若f(x)在(-∞,0)上单调递减,则f(x)在(0,+∞)上单调递增.()(5)若T...
