高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHAUSHEJI2.4.2圆的一般方程第二章2021内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释思维脉络1.理解圆的一般方程及其特点.(数学抽象)2.掌握圆的一般方程和标准方程的互化.(数学运算)3.会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题.(逻辑推理)课前篇自主预习[激趣诱思]我们已经学习了曲线与方程的关系,也已经认识了直线方程的多种形式,刚刚学习了圆的标准方程,现给出一个一般的二元二次方程:Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0(A,C,D,E,F为常数),请问你能写出一个它分别表示①直线;②圆;③y关于x的二次函数的必要条件吗?[知识点拨]一、圆的一般方程当D2+E2-4F>0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(-D2,-E2)为圆心,12ටD2+E2-4F为半径的圆,这个方程叫做圆的一般方程.名师点析1.当D2+E2-4F=0时,方程表示一个点;当D2+E2-4F<0时,方程不表示任何图形.2.二元二次方程要想表示圆,需x2和y2的系数相同且不为0,没有xy这样的二次项.3.几个常见圆的一般方程(1)过原点的圆的方程:x2+y2+Dx+Ey=0(D,E不全为0);(2)圆心在y轴上的圆的方程:x2+y2+Ey+F=0(E2-4F>0);(3)圆心在x轴上的圆的方程:x2+y2+Dx+F=0(D2-4F>0);(4)圆心在x轴上且过原点的圆的方程:x2+y2+Dx=0(D≠0);(5)圆心在y轴上且过原点的圆的方程:x2+y2+Ey=0(E≠0).(-D2,-E2)微思考二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆需要满足哪些条件?提示(1)A=C,且均不为0;(2)B=0;(3)D2+E2-4AF>0.微练习1圆x2+y2-4x+2y+4=0的半径和圆心坐标分别为()A.1,(-2,1)B.2,(-2,1)C.2,(2,-1)D.1,(2,-1)解析x2+y2-4x+2y+4=0可化为(x-2)2+(y+1)2=1,所以半径和圆心坐标分别为1,(2,-1).答案D微练习2圆x2+y2-2x+6y+8=0的面积为()A.8πB.4πC.2πD.π解析原方程可化为(x-1)2+(y+3)2=2,∴半径r=,∴圆的面积为S=πr2=2π.答案Cξ2二、由圆的一般方程判断点与圆的位置关系及与圆有关的轨迹问题2.点M的坐标(x,y)满足的关系式称为点M的轨迹方程.求符合某种条件的动点M的轨迹方程,实质上就是利用题设中的几何条件,通过“坐标化”将其转化为关于变量x,y之间的方程.1.已知点M(x0,y0)和圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).点M在圆外⇔x02+y02+Dx0+Ey0+F>0;点M在圆上⇔x02+y02+Dx0+Ey0+F=0;点M在圆内⇔x02+y02+Dx0+Ey0+F<0.微判断(1)二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0一定是某个圆的方程.()(2)圆的方程中可能含有xy这样的项.()(3)2x2+2y2+Dx+Ey+F=0一定表示圆的方程的条件为D2+E2-4F>0.()(4)若圆过原点,则在平面直角坐...
