高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHUASHEJI2.3简单的三角恒等变换第2章2022内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释1.能推导出积化和差、和差化积、半角公式.(逻辑推理)2.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值和证明.(数学运算)思维脉络课前篇自主预习【激趣诱思】同学们,你知道电脑输入法中“半角”和“全角”的区别吗?半角、全角主要是针对标点符号来说的,全角标点占两个字节,半角标点占一个字节,但不管是全角还是半角,汉字都要占两个字节.事实上,汉字字符规定了全角的英文字符、图形符号和特殊字符都是全角字符,而通常的英文字母、数字键、符号键都是半角字符.那么我们学习的任意角中是否也有“全角”与“半角”之分,二者有何数量关系?【知识点拨】知识点一:半角公式sinα2=±ට1-𝑐𝑜𝑠α2,cosα2=±ට1+𝑐𝑜𝑠α2,tanα2=±ට1-𝑐𝑜𝑠α1+𝑐𝑜𝑠α.名师点析(1)若没有给出决定符号的条件,则在根号前保留正负两个符号;(2)若给出了角α的具体范围,则先求所在范围,再根据所在范围确定符号;𝛼2𝛼2(3)若给出的角α是某一象限的角,则根据下表决定符号:(4)正切半角的有理形式:tanα2=𝑠𝑖𝑛α1+𝑐𝑜𝑠α=1-𝑐𝑜𝑠α𝑠𝑖𝑛α.微判断(1)sin15°=±ට1-𝑐𝑜𝑠30°2.()(2)对于∀α∈R,sin𝛼2=12sinα都不成立.()(3)若5π<θ<6π,cos𝜃2=a,则cos𝜃4=ට1+𝑎2.()答案(1)×(2)×(3)×微练习已知180°<α<360°,则cos𝛼2的值等于()A.-ට1-cos𝛼2B.ට1-cos𝛼2C.-ට1+cos𝛼2D.ට1+cos𝛼2答案C解析 180°<α<360°,∴90°<𝛼2<180°.∴cos𝛼2=-ට1+cos𝛼2.微拓展万能公式:sinα=2tan𝛼21+tan2𝛼2,cosα=1-tan2𝛼21+tan2𝛼2,tanα=2tan𝛼21-tan2𝛼2.知识点二:和差化积公式cosα+cosβ=2cos𝛼+𝛽2cos𝛼-𝛽2;cosα-cosβ=-2sin𝛼+𝛽2sin𝛼-𝛽2;sinα+sinβ=2sin𝛼+𝛽2cos𝛼-𝛽2;sinα-sinβ=2cos𝛼+𝛽2sin𝛼-𝛽2.微练习cosα-12=.答案-2sinቀ𝛼2+π6ቁsinቀ𝛼2-π6ቁ知识点三:积化和差公式cosαcosβ=12[cos(α+β)+cos(α-β)];sinαsinβ=-12[cos(α+β)-cos(α-β)].要点笔记sinαcosβ=12[sin(α+β)+sin(α-β)];cosαsinβ=12[sin(α+β)-sin(α-β)].微练习sinαsin3α=.答案12cos2α-12cos4α知识点四:公式“asinx+bcosx=Asin(x+φ)(ab≠0,且A>0)”的推导要使asinx+bcosx=Asin(x+φ)(ab≠0,且A>0)成立,则只需选取A,φ,使൜𝐴cos𝜑=𝑎,𝐴sin𝜑=𝑏,即൝cos𝜑=𝑎𝐴,sin𝜑=𝑏𝐴.由sin2φ+cos2φ=1可得ቀ𝑎𝐴ቁ2+ቀ𝑏𝐴ቁ2=1,即A=ξ𝑎2+...
