高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHUASHEJI2.2二倍角的三角函数第2章2022内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释1.能通过两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.(逻辑推理)2.能利用公式进行简单的应用.(数学运算)思维脉络课前篇自主预习【激趣诱思】大雁是人们熟知的鸟类之一,在迁徙时总是几十只、数百只,甚至上千只汇集在一起,互相紧接着列队而飞,古人称之为“雁阵”.“雁阵”由有经验的“头雁”带领,加速飞行时,队伍排成“人”字形,一旦减速,队伍又由“人”字形换成“一”字形.当飞在前面的“头雁”的翅膀在空中划过时,翅膀尖上就会产生一股微弱的上升气流,排在它后面的大雁就可以依次利用这股气流,从而节省体力.研究表明,大雁排成的“人”字队形的每边与前进方向的夹角约为55°,那么“人”字队形的夹角就是这个角的两倍,大约为110°.问题:这两个角的三角函数之间有什么关系?【知识点拨】知识点:二倍角的正弦、余弦、正切公式注:二倍角的三角函数即为两角和的三角函数的特例.名师点析1.二倍角的“广义理解”:二倍角是相对的,如4α是2α的二倍,α是的二倍等.“倍”是描述两个数量之间的关系的,这里蕴含着换元思想.𝛼22.对于S(2α)和C(2α),α∈R,但是在使用T(2α)时,要保证分母1-tan2α≠0且tanα有意义,即α≠kπ+π4(k∈Z)且α≠kπ-π4(k∈Z)且α≠kπ+π2(k∈Z).当α=kπ+π4(k∈Z)及α=kπ-π4(k∈Z)时,tan2α的值不存在;当α=kπ+π2(k∈Z)时,tanα的值不存在,故不能用二倍角公式求tan2α,此时可以利用诱导公式直接求tan2α.3.一般情况下,sin2α≠2sinα,cos2α≠2cosα,tan2α≠2tanα.4.倍角公式的逆用更能拓展思路,我们要熟悉这组公式的逆用,如sin3αcos3α=sin6α.12微练习(1)已知sinα=35,cosα=45,则sin2α=.(2)已知cosα=13,则cos2α=.(3)已知tanα=43,则tan2α=.答案(1)2425(2)-79(3)-247微拓展二倍角公式的变换(1)因式分解变换.cos2α=cos2α-sin2α=(cosα+sinα)·(cosα-sinα).(2)配方变换.1±sin2α=sin2α+cos2α±2sinαcosα=(sinα±cosα)2.(3)升幂缩角变换.1+cos2α=2cos2α,1-cos2α=2sin2α.(4)降幂扩角变换.cos2α=12(1+cos2α),sin2α=12(1-cos2α),sinαcosα=12sin2α.课堂篇探究学习探究一利用二倍角公式解决给角求值问题例1求下列各式的值:(1)sinπ12cosπ12;(2)1-2sin2750°;(3)2tan150°1-tan2150°;(4)cos20°cos40°cos80°.解(1)原式=...
