高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHUASHEJI2.1.3两角和与差的正切公式第2章2022内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释1.能推导出两角和与差的正切公式,了解两角和与差的正弦、余弦、正切公式的内在联系.(逻辑推理)2.能运用两角和与差的正切公式进行简单的化简、求值.(数学运算)思维脉络课前篇自主预习【激趣诱思】如果告诉你两座建筑物的高度,你能借助测角仪求出两座建筑物之间的距离吗?【知识点拨】知识点:两角和与差的正切公式名师点析公式的右边为分式形式,其中分子为tanα,tanβ的和或差.分母为1与tanαtanβ的差或和.公式中左边的加减号与右边分子上的加减号相同,与分母上的加减号相反.符号变化规律可简记为“分子同,分母反”.当α,β,α±β角的正切值不存在时,不能使用上述公式,但可以用诱导公式或其他方法解题.微思考你能写出和角、差角这6个公式的逻辑联系框图吗?提示微练习若tanα=12,则tan(α+𝜋4)=.答案3解析tanቀα+𝜋4ቁ=𝑡𝑎𝑛α+𝑡𝑎𝑛𝜋41-𝑡𝑎𝑛α𝑡𝑎𝑛𝜋4=12+11-12×1=3.课堂篇探究学习探究一化简与求值例1化简下列各式:(1)tan12°+tan33°+tan12°tan33°;(2)(1+tan21°)(1+tan22°)(1+tan23°)(1+tan24°).解(1) tan12°+tan33°1-tan12°tan33°=tan(12°+33°)=tan45°=1,∴tan12°+tan33°=1-tan12°tan33°,∴tan12°+tan33°+tan12°tan33°=1.(2) (1+tan21°)(1+tan24°)=1+tan21°+tan24°+tan21°tan24°=1+tan(21°+24°)(1-tan21°tan24°)+tan21°tan24°=1+(1-tan21°tan24°)tan45°+tan21°tan24°=1+1-tan21°tan24°+tan21°tan24°=2.同理可得(1+tan22°)(1+tan23°)=2,∴原式=2×2=4.变式训练1求值:(tan10°-ξ3)cos10°sin50°.解原式=(tan10°-tan60°)cos10°sin50°=(sin10°cos10°−sin60°cos60°)cos10°sin50°=sin(-50°)cos10°cos60°·cos10°sin50°=-2.探究二给值求值问题例2已知tan(α+β)=5,tan(α-β)=3,求tan2α,tan2β,tanቀ2𝛼+π4ቁ的值.解tan2α=tan[(α+β)+(α-β)]=tan(𝛼+𝛽)+tan(𝛼-𝛽)1-tan(𝛼+𝛽)tan(𝛼-𝛽)=5+31-5×3=-47.tan2β=tan[(α+β)-(α-β)]=tan(𝛼+𝛽)-tan(𝛼-𝛽)1+tan(𝛼+𝛽)tan(𝛼-𝛽)=5-31+5×3=18.tanቀ2𝛼+π4ቁ=1+tan2𝛼1-tan2𝛼=1-471+47=311.探究三给值求角问题例3已知tan(α-β)=12,tanβ=-17,α,β∈(0,π),求2α-β的值.分析已知α-β及β角的正切,要求2α-β的正切,必须通过角变换,2α-β=α+(α-β),α=(α-β)+β,故需...
