高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHUASHEJI1.5.1数量积的定义及计算第1章2022内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释1.通过物理中功等实例,理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积.(数学抽象、数学运算)2.通过几何直观,了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.(数学运算、直观想象)3.掌握平面向量数量积的运算律.(数学运算)4.会求向量的模、夹角,能运用数量积解决向量的垂直问题.(数学运算)思维脉络课前篇自主预习【激趣诱思】在物理学中,我们知道,一个物体受到力的作用,如果在力的方向上发生一段位移,我们就说这个力对物体做了功.如果力的方向和物体运动的方向相同,功就等于力的大小和位移大小的乘积.而当力的方向与物体运动的方向成θ角时,其与位移方向平行的分力F1满足|F1|=|F|cosθ,物体在F1的方向上产生了位移s,因此F对物体做的功W=|F||s|cosθ.在这个公式中,当θ为锐角时,W>0,称力对物体做了正功;当θ为钝角时,W<0,称力对物体做了负功.也就是说W是一个数量,我们称W为F与s的数量积.本节我们从物体的受力做功入手,学习两个向量的数量积.【知识点拨】知识点一:数量积的定义1.数量积定义:设a,b是任意两个向量,
是它们的夹角,则定义a·b=|a||b|cos为a与b的数量积.2.两个向量的垂直关系由平面向量夹角的定义可知,=α的取值范围为[0,π].由数量积定义可知:a·b=0⇔|a|=0或|b|=0或cosα=0.(1)当a,b均不为0时,a·b=0⇔cosα=0⇔α=⇔a⊥b.(2)当a=0或b=0时,由于零向量与任意向量垂直,因而仍有a⊥b.因此,a·b=0⇔a⊥b对所有情形均成立.a·b=0为a⊥b的充要条件π2要点笔记两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算,与实数乘实数、向量数乘的乘法有着本质的区别,书写时一定要注意用a·b表示,不能用a×b或ab表示.微思考两个向量的数量积结果是向量还是数量?提示是数量.微练习(1)已知|a|=2,|b|=ξ2,a与b的夹角是135°,则a·b=.(2)△ABC是边长为4的等边三角形,则𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ·𝐴𝐶ሬሬሬሬሬԦ=.答案(1)-2(2)8解析(1)a·b=|a||b|cos135°=2×ξ2×ቀ-ξ22ቁ=-2.(2)𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ·𝐴𝐶ሬሬሬሬሬԦ=|𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ||𝐴𝐶ሬሬሬሬሬԦ|cos∠BAC=4×4×cos60°=8.知识点二:投影1.投影向量与投影长如图,作𝑂𝐴ሬሬሬሬሬԦ=a,𝑂𝐵ሬሬሬሬሬԦ=b,两个向量的夹角为α,过点B作BB1⊥OA于点B1,我们把𝑂𝐵1ሬሬሬሬሬሬሬሬԦ称为𝑂𝐵ሬሬሬሬሬԦ在𝑂𝐴ሬሬሬሬሬԦ方向上的投影向量,投影...
