高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHAUSHEJI第1课时距离问题第一章2021内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释思维脉络能用向量方法解决点到直线、点到平面、互相平行的直线、互相平行的平面的距离问题.(直观想象、数学运算)课前篇自主预习[激趣诱思]某人在一片丘陵上开垦了一块田地,在丘陵的上方架有一条直的水渠,此人想从水渠上选择一个点,通过一条管道把水引到田地中的一个点P处,要想使这个管道的长度理论上最短,应该如何设计?[知识点拨]一、点到直线的距离、两条平行直线之间的距离1.点到直线的距离已知在直线l的单位方向向量为μ,A是直线l上的定点,P是直线l外一点.2.两条平行直线之间的距离求两条平行直线l,m之间的距离,可在其中一条直线l上任取一点P,则两条平行直线间的距离就等于点P到直线m的距离.设𝐴𝑃ሬሬሬሬሬԦ=a,则向量𝐴𝑃ሬሬሬሬሬԦ在直线l上的投影向量𝐴𝑄ሬሬሬሬሬԦ=(a·μ)μ.点P到直线l的距离为PQ=ට𝑎2-(𝑎·𝜇)2.要点笔记点到直线的距离,即点到直线的垂线段的长度,由于直线与直线外一点确定一个平面,所以空间点到直线的距离问题可转化为空间某一个平面内点到直线的距离问题.微练习已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是C1C,D1A1的中点,则点A到直线EF的距离为.解析如图,以点D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A(2,0,0),E(0,2,1),F(1,0,2),𝐸𝐹ሬሬሬሬሬԦ=(1,-2,1),𝐹𝐴ሬሬሬሬሬԦ=(1,0,-2),∴|𝐸𝐹ሬሬሬሬሬԦ|=ට12+(-2)2+12=ξ6,∴直线EF的单位方向向量μ=ξ66(1,-2,1),∴点A到直线EF的距离d=ට|𝐹𝐴ሬሬሬሬሬԦ|2-ቀ-ξ66ቁ2=ට296=ξ1746.答案ξ1746二、点到平面的距离、两个平行平面之间的距离点到平面的距离已知平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l,交平面α于点Q,则点P到平面α的距离为名师点析1.实质上,n是直线l的方向向量,点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度.2.如果一条直线l与一个平面α平行,可在直线l上任取一点P,将线面距离转化为点P到平面α的距离求解.3.两个平行平面之间的距离如果两个平面α,β互相平行,在其中一个平面α内任取一点P,可将两个平行平面之间的距离转化为点P到平面β的距离求解.PQ=|𝐴𝑃ሬሬሬሬሬԦ·𝑛||𝑛|.𝐴𝑃ሬሬሬሬሬԦ𝑄𝑃ሬሬሬሬሬԦ微思考怎样求线面距离、面面距离?提示线面距离、面面距离都可以通过一定的方法转化为点到平面的距离求解.微练习在正四棱柱...
