高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHUASHEJI1.4.1向量分解及坐标表示第1章2022内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释1.理解并掌握平面向量基本定理,会用基表示平面向量.(数学抽象、数学运算)2.掌握平面向量的正交分解以及坐标表示.(数学抽象、数学运算)思维脉络课前篇自主预习【激趣诱思】如图所示是一个放在斜面上的物体,它所受的竖直向下的重力G可分解为使物体沿斜面下滑的力F1和使物体垂直于斜面压紧斜面的力F2,或者说重力G可以用物体沿斜面下滑的力F1和使物体垂直于斜面压紧斜面的力F2来表示.把一个向量在两个不同的方向,特别是两个互相垂直的方向上进行分解,是解决向量问题的一种十分重要的手段.你知道数学中是怎样解决此类问题的吗?【知识点拨】知识点一:平面向量基本定理1.平面向量基本定理设e1,e2是平面上两个不共线向量,则(1)平面上每个向量v都可以分解为e1,e2的实数倍之和,即v=xe1+ye2,其中x,y是实数.(2)实数x,y由v=xe1+ye2唯一决定.也就是:如果v=xe1+ye2=x'e1+y'e2,则x=x',y=y'.名师点析对平面向量基本定理的理解(1)平面向量基本定理包括两个方面的内容,一是存在性,二是唯一性.唯一性是指如果c=xa+yb=μa+vb,那么x=μ且y=v.(2)当a与b不共线时,xa+yb≠0的充要条件是x与y中至少有一个不为0.2.基与坐标我们称不共线向量e1,e2组成平面上的一组基{e1,e2},分解式v=xe1+ye2中的系数x,y组成的有序数组(x,y),称为v在这组基下的坐标.取定了平面上一组基{e1,e2}之后,可以将平面上每个向量v用它在这组基下的坐标表示,记作v=(x,y).名师点析对基与坐标的理解(1)由平面向量基本定理知,平面内的任一向量都可用一组基表示出来.因而可以“统一”各向量,便于研究向量问题.(2)基不唯一,同一平面可以有不同的基,且组成基的向量不能共线(零向量不可以作为基中的向量).同一非零向量在不同基下的分解式是不同的.微思考(1)平面向量基本定理中的“不共线”能否去掉?提示不能,两个共线向量不能表示平面内的任意向量,不能组成基.(2)平面内的每一个向量都能用不共线的两个向量唯一表示吗?提示是的,在平面内任一向量都可以用两个确定的不共线的向量线性表示,且这样的表示是唯一的.微练习若e1,e2组成平面内的一组基,则下列四组向量能组成平面向量的基的是()A.e1-e2,e2-e1B.2e1-e2,e1-e2C.2e2-3e1,6e1-4e2D.e1+e2,e1-e2答案D解析e1+e2与e1-e2不共线,可以作为平面向量的基,另外三组向量都共线,不能组成基.12知识点二:平面向量的正交分解与坐标表示1....
