高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHAUSHEJI1.1.2空间向量的数量积运算第一章2021内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释思维脉络1.理解空间两个向量夹角的定义.(直观想象)2.掌握空间向量数量积的定义、性质、运算律,会求空间向量的数量积.(数学运算)3.能够运用空间向量的数量积解决夹角与距离问题.(数学运算)课前篇自主预习[激趣诱思]G20峰会向世界展示了杭州的无穷魅力,一些别致的建筑和设计令人印象深刻!设计、制造这些宏伟的建筑、精美的造型,都会遇到许多立体几何问题,比如建筑的地面垂不垂直,要不要垂直?构成建筑的部件长度是多少?彼此成多少角度比较合适等等.怎么样才能解决这些问题呢,必须有强大的数学工具!问题1:在所学的数学工具中,哪些可以用来研究垂直问题,计算长度、角度问题?问题2:我们已经学习了平面向量,并深刻地体会到平面向量在解决垂直、长度、角度等问题中的应用.我们还学习了空间向量的加法、减法、数乘运算,那么空间向量中,怎么样的运算能支持判断垂直问题,计算长度、角度问题?[知识点拨]一、空间向量的夹角已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作,则∠AOB叫做向量a,b的夹角,记作
,向量夹角的取值范围是[0,π].如果=,那么向量a,b互相垂直,记作a⊥b.名师点析1.由定义知,只有两个非零空间向量才有夹角,当两个非零空间向量共线同向时,夹角为0;共线反向时,夹角为π.2.对空间任意两个非零向量a,b有:①=;②<-a,b>==π-;③<-a,-b>=.𝑂𝐴ሬሬሬሬሬԦ=a,𝑂𝐵ሬሬሬሬሬԦ=bπ2微练习A.30°B.60°C.150°D.120°答案D在正四面体ABCD中,𝐵𝐶ሬሬሬሬሬԦ与𝐶𝐷ሬሬሬሬሬԦ的夹角等于()解析<𝐵𝐶ሬሬሬሬሬԦ,𝐶𝐷ሬሬሬሬሬԦ>=180°-<𝐶𝐵ሬሬሬሬሬԦ,𝐶𝐷ሬሬሬሬሬԦ>=180°-60°=120°.二、空间向量的数量积1.定义:已知两个非零向量a,b,则|a||b|cos叫做a,b的数量积,记作a·b.即a·b=|a||b|cos.特别地,零向量与任意向量的数量积为0.2.数量积的运算性质a·e=|a|cos(e为单位向量).若a,b是非零向量,则a⊥b⇔a·b=0;若a与b同向,则a·b=|a||b|;若a与b反向,则a·b=-|a||b|.特别地,|a|2=a·a或|a|=.若θ为a,b的夹角,则cosθ=.|a·b|≤|a||b|(当且仅当a,b共线时,等号成立)ξ𝑎·𝑎.a·b|a||b|3.向量a在向量b上的投影向量在空间,向量a向向量b投影,得到与向量b共线的向量c,c=|a|cos,向量c称为向量a在向量b上的投影向量.4.向量a在平面β上的投影向量分别由向量...
