数学选择性必修第二册RJA第四章数列专题2数列求和例1[天津文2018·18]设{an}是等差数列，其前n项和为Sn(n∈N*)；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn(n∈N*)．已知b1＝1，b3＝b2＋2，b4＝a3＋a5，b5＝a4＋2a6.(1)求Sn和Tn；(2)若Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn，求正整数n的值．【解】(1)设等比数列{bn}的公比为q.由b1＝1，b3＝b2＋2，可得q2－q－2＝0. q＞0，∴q＝2，故bn＝2n－1.∴Tn＝1－2n1－2＝2n－1.设等差数列{an}的公差为d.由b4＝a3＋a5，可得a1＋3d＝4.由b5＝a4＋2a6，可得3a1＋13d＝16，从而a1＝1，d＝1，故an＝n，∴Sn＝n（n＋1）2.(2)由(1)知T1＋T2＋…＋Tn＝(21＋22＋…＋2n)－n＝2n＋1－n－2.由Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn，可得n（n＋1）2＋2n＋1－n－2＝n＋2n＋1，整理得n2－3n－4＝0，解得n＝－1(舍去)或n＝4.∴n的值为4.例2设f(x)＝4x4x＋2，若S＝f12017＋f22017＋…＋f20162017，则S＝________．【解析】 f(x)＝4x4x＋2，∴f(1－x)＝41－x41－x＋2＝22＋4x.∴f(x)＋f(1－x)＝4x4x＋2＋22＋4x＝1.S＝f12017＋f22017＋…＋f20162017，①S＝f20162017＋f20152017＋…＋f12017，②1008由①＋②，得2S＝f12017＋f20162017＋[f22017＋f20152017]＋…＋f20162017＋f12017＝2016，∴S＝20162＝1008.例3若An和Bn分别表示数列{an}和{bn}的前n项和，对任意正整数n，an＝2(n＋1)，3An－Bn＝4n.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)记cn＝2An＋Bn，求{cn}的前n项和Sn.【解】(1) an＝2(n＋1)，∴{an}为等差数列，且a1＝4.∴An＝n（a1＋an）2＝n（4＋2n＋2）2＝n2＋3n，∴Bn＝3An－4n＝3(n2＋3n)－4n＝3n2＋5n.当n＝1时，b1＝B1＝8；当n≥2时，bn＝Bn－Bn－1＝3n2＋5n－[3(n－1)2＋5(n－1)]＝6n＋2. b1＝8满足上式，∴bn＝6n＋2.∴数列{bn}的通项公式为bn＝6n＋2.(2)由(1)知cn＝2An＋Bn＝24n2＋8n＝141n－1n＋2，∴Sn＝14[11－13＋12－14＋13－15＋(14－16)＋…＋1n－1－1n＋1＋1n－1n＋2]＝141＋12－1n＋1－1n＋2＝38－141n＋1＋1n＋2.例4若公比为q的等比数列{an}的首项a1＝1，且满足an＝an－1＋an－22(n＝3，4，5，…)．(1)求q的值；(2)设bn＝n·an，求数列{bn}的前n项和Sn.【解】(1)由题意可知2an＝an－1＋an－2(n＝3，4，5，…)，即2a1qn－1＝a1qn－2＋a1qn－3. a1＝1，∴2q2－q－1＝0，解得q＝1或q＝－12.(2)①当q＝1时，an＝1，bn＝n，Sn＝n（n＋1）2.②当q＝－12时，an＝－12n－1，bn＝n·－12n－1，Sn＝1·－120＋2·－121＋3·...
