高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHAUSHEJI章末整合2021内容索引0102知识网络系统构建题型突破深化提升知识网络系统构建题型突破深化提升专题一对数的运算例1求下列各式的值:(1)2lg2+lg31+12lg0.36+13lg8;(2)lg52+23lg8+lg5lg20+(lg2)2.解(1)原式=𝑙𝑔4+𝑙𝑔31+𝑙𝑔ඥ0.36+𝑙𝑔ඥ83=𝑙𝑔12𝑙𝑔10+𝑙𝑔0.6+𝑙𝑔2=𝑙𝑔12𝑙𝑔12=1.(2)原式=2lg5+2lg2+lg5(1+lg2)+(lg2)2=2(lg2+lg5)+lg5+lg2(lg5+lg2)=2+lg5+lg2=3.方法技巧对数运算的常用技巧(1)“折”,将积(商)的对数拆成对数的和(差);(2)“收”,将同底的对数的和(差)收成积(商)的对数;(3)“1”的代换:1=lg2+lg5,1=logaa;(4)充分利用整式的乘法公式与因式分解.变式训练1设a,b,c均为正数,且满足a2+b2=c2.(1)求证:log2(1+b+ca)+log2(1+a-cb)=1;(2)若log4(1+b+ca)=1,log8(a+b-c)=23,求a,b,c的值.(1)证明左边=log2a+b+ca+log2a+b-cb=log2(a+b+ca·a+b-cb)=log2(a+b)2-c2ab=log2a2+2ab+b2-c2ab=log22ab+c2-c2ab=log22=1.(2)解由log4(1+b+ca)=1得1+b+ca=4,∴-3a+b+c=0.①由log8(a+b-c)=23得a+b-c=823=4.②由①+②得b-a=2.③由①得c=3a-b,代入a2+b2=c2得2a(4a-3b)=0, a>0,∴4a-3b=0,④由③④解得a=6,b=8,从而c=10.专题二对数换底公式的应用例2(1)计算:①(log43+log83)×lg2lg3;②log5ඥ2×log79log513×log7ඥ43.(2)已知loga5=-12,log5b=-12,lg2≈310,求lgba.解(1)①原式=ቀ𝑙𝑔3𝑙𝑔4+𝑙𝑔3𝑙𝑔8ቁ×𝑙𝑔2𝑙𝑔3=𝑙𝑔32𝑙𝑔2×𝑙𝑔2𝑙𝑔3+𝑙𝑔33𝑙𝑔2×𝑙𝑔2𝑙𝑔3=12+13=56.②原式=𝑙𝑜𝑔5ඥ2𝑙𝑜𝑔513×lo𝑔79lo𝑔7ඥ43=log13ξ2×logξ439=𝑙𝑔ඥ2𝑙𝑔13×𝑙𝑔9𝑙𝑔413=12lg2-lg3×2lg323lg2=-32.(2) loga5=-12,∴log5a=-2.又 log5b=-12,lg2≈310,∴lg𝑏𝑎=log5𝑏𝑎log510=log5𝑏-log5𝑎1+log52=-12+21+lg2lg5=32lg5lg2+lg5=32lg5=32×(1-lg2)≈32×ቀ1-310ቁ=32×710=2120.方法技巧利用对数的换底公式化简、求值的思路(1)换底公式的作用是将不同底数的对数式转化为同底数的对数式,将一般对数转化为自然对数或常用对数来运算,要注意换底公式的正用、逆用.(2)用已知对数式的值表示底数不同的对数值时,要先利用换底公式统一底数,再利用对数运算性质转化.(3)当一个题目中同时出现对数式和指数式时,一般需要统一成一种表达形式.变式训练2(1)已知log89=a,log25=b,用a,b表示lg3;(2)设a=lgቀ1+17ቁ,b=lgቀ1+149ቁ,用a,b表示lg1.4.解(1) log89=a,∴log2332=a,∴23log23=a,∴log23=32a.∴lg3=log23log2...
