高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHAUSHEJI章末整合第二章2021内容索引0102知识网络整合构建专题归纳思维深化知识网络整合构建专题归纳思维深化专题一导数几何意义的应用例1已知函数f(x)=lnx-,g(x)=ax+b.若函数g(x)=ax+b的图象是函数f(x)=lnx-图象的切线,求a+b的最小值.1x1x解设切点(m,lnm-1𝑚)(m>0),函数f(x)=lnx-1𝑥的导数为f'(x)=1𝑥+1𝑥2,即切线的斜率为1𝑚+1𝑚2,若直线g(x)=ax+b是函数f(x)=lnx-1𝑥图象的切线,则a=1𝑚+1𝑚2,lnm-1𝑚=ma+b,即b=lnm-2𝑚-1,a+b=lnm-1𝑚+1𝑚2-1,令1𝑚=t>0,则a+b=-lnt-t+t2-1(t>0),令a+b=φ(t)=-lnt+t2-t-1(t>0),则φ'(t)=-1𝑡+2t-1=(2𝑡+1)(𝑡-1)𝑡(t>0),当t∈(0,1)时,φ'(t)<0,φ(t)在(0,1)内单调递减;当t∈(1,+∞)时,φ'(t)>0,φ(t)在(1,+∞)内单调递增.即当t=1时,φ(t)取得极小值,也为最小值.则a+b=φ(t)≥φ(1)=-1,故a+b的最小值为-1.反思感悟利用导数求切线方程的关键是找到切点,若切点未知需设出.常见的类型有两种:一类是求“在某点处的切线方程”,此点一定为切点,易求斜率进而写出直线方程;另一类是求“过某点的切线方程”,点(x0,y0)不一定是切点,可先设切点为Q(x1,y1),由=f'(x1)和y1=f(x1),求出x1,y1的值,再转化为第一种类型.𝑦0-𝑦1𝑥0-𝑥1变式训练1已知曲线y=x2+alnx(a>0)上任意一点处的切线的斜率为k,若k的最小值为4,则此时切点的坐标为.答案(1,1)解析函数y=x2+alnx(a>0)的定义域为{x|x>0},y'=2x+𝑎𝑥≥2ξ2a=4,则a=2,当且仅当x=1时等号成立,此时y=1,所以切点的坐标为(1,1).专题二函数的单调性、极值、最值问题例2已知函数f(x)=(4x2+4ax+a2),其中a<0.(1)当a=-4时,求f(x)的单调增区间;(2)若f(x)在区间[1,4]上的最小值为8,求a的值.ξx解(1)当a=-4时,令f'(x)=2(5𝑥-2)(𝑥-2)ξ𝑥=0(x>0),得x=25或x=2.令f'(x)>0,得x∈(0,25)或x∈(2,+∞),故函数f(x)的单调增区间为(0,25)和(2,+∞).(2)因为f'(x)=(10𝑥+𝑎)(2𝑥+𝑎)2ξ𝑥,a<0,令f'(x)=0,得x=-𝑎10或x=-𝑎2.当x∈(0,-𝑎10)时,f(x)单调递增;当x∈(-𝑎10,-𝑎2)时,f(x)单调递减;当x∈(-𝑎2,+∞)时,f(x)单调递增.易知f(x)=(2x+a)2ξ𝑥≥0,且f(-𝑎2)=0.①当-𝑎2≤1,即-2≤a<0时,f(x)在[1,4]上的最小值为f(1),由f(1)=4+4a+a2=8,得a=±2ξ2-2,均不符合题意.②当1<-𝑎2≤4,即-8≤a<-2时,f(x)在[1,4]上的最小值为f(-𝑎2)=0,不符合题意.③当->4,即a<-8时,f(x)在[1,4]上的最小值可能在x=1或x=4处取得,而f(1)≠8,由f(4)=2(64+16a+a2)=8,得a=-10或a=-6(舍去),当a=-...
