本章习题课高考中的热点题型题型一定点问题——师生共研例1设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，F1，F2为左右焦点，B为短轴端点，长轴长为4，焦距为2c，且b>c，△BF1F2的面积为3.(1)求椭圆C的方程；(2)设动直线l：y＝kx＋m与椭圆C有且仅有一个公共点M，且与直线x＝4相交于点N.试探究：在坐标平面内是否存在定点P，使得以MN为直径的圆恒过点P？若存在求出点P的坐标，若不存在．请说明理由．解析：(1)由题意知2a＝412·2c·b＝3，a2＝b2＋c2解得：a＝2b＝3，c＝1故椭圆C的方程是x24＋y23＝1.(2)由y＝kx＋mx24＋y23＝1得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.因为动直线l与椭圆C有且只有一个公共点M(x0，y0)，所以m≠0且Δ＝0，即64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，化简得4k2－m2＋3＝0.(*)此时x0＝－4km4k2＋3＝－4km，y0＝kx0＋m＝3m，所以M－4km，3m，由x＝4y＝kx＋m得N(4,4k＋m)．假设平面内存在定点P满足条件，由图形对称性知，点P必在x轴上．设P(x1,0)，则PM→·PN→＝0对满足(*)式的m、k恒成立．因为PM→＝－4km－x1，3m，PN→＝(4－x1,4k＋m)，由PM→·PN→＝0，得－16km＋4kx1m－4x1＋x21＋12km＋3＝0，整理，得(4x1－4)km＋x21－4x1＋3＝0.(**)由于(**)式对满足(*)式的m，k恒成立，所以4x1－4＝0x21－4x1＋3＝0解得x1＝1.故存在定点P(1,0)，使得以MN为直径的圆恒过点M.方法归纳求解直线和曲线过定点问题的基本解题模板是：把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对变量的任意一个值都成立，这时变量的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．跟踪训练1已知抛物线E：x2＝2py(p>0)的焦点为F，A(2，y0)是E上一点，且|AF|＝2.(1)求E的方程；(2)设点B是E上异于点A的一点，直线AB与直线y＝x－3交于点P，过点P作x轴的垂线交E于点M，证明：直线BM过定点．解析：(1)根据题意知，4＝2py0，①因为|AF|＝2，所以y0＋p2＝2.②联立①②解得y0＝1，p＝2.所以E的方程为x2＝4y.(2)证明：设B(x1，y1)，M(x2，y2)由题意，可设直线BM的方程为y＝kx＋b，代入x2＝4y，得x2－4kx－4b＝0.根与系数的关系．得x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b.③由MP⊥x轴及点P在直线y＝x－3上，得P(x2，x2－3)，则由A，P，B三点共线，得x2－4x2－2＝kx1＋b－1x1－2，整理，得(k－1)x1x2－(2k－4)x1＋(b...
