12.2　复数的运算.pptx

高中同步学案优化设计,GAO ZHONG TONG BU XUE AN YOU HUA SHE JI,第12章,2022,内容索引,课前篇 自主预习,课堂篇 探究学习,课标阐释,1.掌握复数的四则运算.(数学运算)2.理解复数四则运算的运算律.(数学运算)3.能在复数集内解有关方程问题.(逻辑推理、数学运算),思维脉络,课前篇 自主预习,【激趣诱思】随着虚数的产生,数系得到了进一步的扩充.同时,随着科学技术的进步,逐步建立起来的复变函数理论在研究堤坝渗水问题、建设大型水电站等领域也有广泛的应用.而复变函数理论中离不开复数的加、减、乘、除运算.1747年,法国著名的数学家达朗贝尔(17171783)指出,如果按照多项式的四则运算法则对虚数进行运算,那么运算的结果总是a+bi的形式,其中a,b都是实数.他开创了复数四则运算的先河.,【知识梳理】,一、复数的加法与减法运算1.复数加法、减法的运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR)是任意两个复数,则有:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.2.复数加法的运算律对任何z1,z2,z3C,有交换律:z1+z2=z2+z1;结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).,微练习(1)若z1=-2+4i,z2=3-2i,则z1+z2=.(2)(5-5i)-3i=.答案(1)1+2i(2)5-8i解析(1)z1+z2=(-2+4i)+(3-2i)=1+2i.(2)(5-5i)-3i=5-8i.,二、复数的乘法及其运算律1.复数乘法的运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR)是任意两个复数,那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i.2.复数乘法的运算律对任何z1,z2,z3C,有,3.共轭复数我们把实部相等、虚部互为相反数的两个复数叫作互为共轭复数.复数z=a+bi(a,bR)的共轭复数记作,即=a-bi.当复数z=a+bi的虚部b=0时,z=名师点析(1)复数的乘法法则与多项式的乘法法则类似,注意有一点不同,即必须在所得结果中把i2换成-1,再把实部、虚部分别合并.(2)两个复数的积仍为复数,可推广,任意多个复数的积仍然是一个复数.,微思考in(nN*)有什么规律?提示 in(nN*)是以4为周期循环出现的.,微练习(1)(4-i)(3+2i)=.(2)(-3+2i)2=.(3)设z=i(2+i),则=.答案(1)14+5i(2)5-12i(3)-1-2i解析(1)(4-i)(3+2i)=12+8i-3i+2=14+5i.(2)(-3+2i)2=9-4-12i=5-12i.(3)z=2i+i2=-1+2i,则=-1-2i.,三、复数的除法,微练习,答案(1)B(2)B,课堂篇 探究学习,分析(1)可根据复数的加、减法法则计算.(2)可设z=x+yi(x,yR),根据复数相等计算,也可把等式看作z的方程,通过移项求解.,(2)解 方法一设z=x+yi(x,yR),因为z+1-3i=5-2i,所以x+yi+(1-3i)=5-2i,即x+1=5且y-3=-2,解得x=4,y=1,所以z=4+i.方法二因为z+1-3i=5-2i,所以z=(5-2i)-(1-3i)=4+i.,反思感悟 复数加、减运算的方法技巧(1)可把复数运算类比实数运算,若有括号,先计算括号里面的;若没有括号,可以从左到右依次进行.(2)当利用交换律、结合律抵消掉某些项的实部或虚部时,可以利用运算律简化运算,注意正负号法则与实数相同,不能弄错.,变式训练1(1)计算(-4-6i)-(3+2i)+(5+4i)=.(2)若(1-3i)+z=6+2i,则复数z=.答案(1)-2-4i(2)5+5i解析(1)(-4-6i)-(3+2i)+(5+4i)=(-4-3+5)+(-6-2+4)i=-2-4i.(2)由已知得z=(6+2i)-(1-3i)=5+5i.,分析按照复数乘法与除法的运算法则进行计算.,反思感悟 1.复数乘法运算的技巧(1)复数乘法与实数多项式乘法类似,在计算两个复数的乘积时,先按照多项式的乘法展开,再将i2换成-1,最后合并同类项即可.(2)三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算,混合运算和实数的运算顺序一致.(3)在复数乘法运算时,若符合乘法公式,则可直接运用公式计算.(4)对于复数的高次乘方运算,可以利用公式=zmn(m,nZ)进行转化求解.,2.复数除法运算的技巧(1)根据复数的除法法则,通过分子、分母都乘分母的共轭复数,使“分母实数化”,这个过程与“分母有理化”类似.(2)复数除法运算的结果要进行化简,通常要写成复数的代数形式,即实部与虚部要完全分开的形式.,例3计算下列各式的值:(1)i2 016;(2)1+i+i2+i2 016.分析根据i幂值的周期性以及复数高次乘方的运算法则进行计算求解.解(1)i2 016=i4504=i4=1.(2)1+i+i2+i2 016=(1+i+i2+i3)+(i4+i5+i6+i7)+(i2 012+i2 013+i2 014+i2 015)+i2 016=0504+i2 016=1.,反思感悟 利用i幂值的周期性解题的技巧(1)熟记i的幂值的4个结果,当幂指数除以4所得的余数是0,1,2,3时,相应的幂值分别为1,i,-1,-i.(2)对于nN*,有in+in+1+in+2+in+3=0.,A.3B.4C.8D.16答案 B解析 当n=1时,x=i2+i-2=-1+(-1)=-2,当n=2时,x=i4+i-4=1+1=2,当n=3时,x=i6+i-6=-2,当n=4时,x=i8+i-8=2,因此A=,故A有4个子集.,例4在复数集C内解下列方程:(1)3z2+9=0;(2)z2-4z+8=0;(3)2z2+3z+5=0.,解(1)由题得z2+3=0,设z=x+yi(x,yR),则(x+yi)2+3=0,因此z=3i或z=-3i.(2)配方,得(z-2)2=-4.仿(1),得z-2=2i或z-2=-2i,所以z=2+2i或z=2-2i.,反思感悟(1)与复数有关的方程问题,一般是利用复数相等的充要条件,把复数问题实数化进行求解,其中根与系数的关系仍适用.,变式训练4已知z1,z2是实系数一元二次方程的两个虚数根,且z1,z2满足方程2z1+(1-i)z2=3+5i.(1)求z1和z2;(2)写出一个以z1和z2为根的实系数一元二次方程.,解(1)根据题意,设z1=a+bi,z2=a-bi,a,bR且b0,代入2z1+(1-i)z2=3+5i中,得2a+2bi+(1-i)(a-bi)=3+5i,整理得3a-b+(b-a)i=3+5i,(2)z1+z2=4+9i+4-9i=8,z1z2=(4+9i)(4-9i)=97,以z1和z2为根的实系数一元二次方程为z2-8z+97=0.,答案 B,2.若复数z满足z+(3-4i)=1,则z的虚部是()A.-2B.4C.3D.-4答案 B解析 z=1-(3-4i)=-2+4i,所以z的虚部是4.,答案 C,4.mR,i为虚数单位,若(m+i)(2-3i)=5-i,则m的值为()A.1B.-1C.2D.-2答案 A解析 由(m+i)(2-3i)=(2m+3)+(2-3m)i=5-i,5.已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0,其中i为虚数单位,则实数a的值是.答案 2解析(a+2i)(1+i)=a+ai+2i+2i2=a-2+(a+2)i,其实部为0,a-2=0,a=2.,答案-i,更多精彩内容请登录志鸿优化网http:/www.zhyh.org/,本 课 结 束,