高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI8.7双曲线第八章2022内容索引0102必备知识预案自诊关键能力学案突破必备知识预案自诊【知识梳理】1.双曲线定义一般地,如果F1,F2是平面内的两个定点,a是一个,且2a<|F1F2|.则平面上满足的动点P的轨迹称为双曲线,其中,两个定点F1,F2称为双曲线的,两个焦点的距离|F1F2|称为双曲线的焦距,双曲线也可以通过用平面截两个特殊的面得到,因此双曲线是一种圆锥曲线.正常数||PF1|-|PF2||=2a焦点圆锥问题思考(1)平面内与两定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数2a的动点的轨迹一定为双曲线吗?为什么?(2)双曲线定义中,如果去掉“差的绝对值等于常数”中的“绝对值”,轨迹有什么不同?提示(1)不一定.当2a=|F1F2|时,动点的轨迹是两条射线;当2a>|F1F2|时,动点的轨迹不存在;当2a=0时,动点的轨迹是线段F1F2的中垂线.(2)若将双曲线定义中的“差的绝对值等于常数”中的“绝对值”去掉,则点的轨迹是双曲线的一支,具体是左支还是右支视情况而定.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)图形标准方程x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)性质范围x≤-a或x≥a,y∈Ry≤-a或y≥a,x∈R对称性对称轴:,对称中心:顶点A1,A2A1,A2渐近线y=±𝑏𝑎xy=±𝑎𝑏x离心率e=𝑐𝑎,e∈(1,+∞)a,b,c的关系c2=实、虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=;线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=;a叫做双曲线的半实轴长,b叫做双曲线的半虚轴长坐标轴原点(-a,0)(a,0)(0,-a)(0,a)a2+b22a2b3.等轴双曲线(1)定义:实轴长与虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线.(2)性质:①a=b;②e=;③渐近线互相垂直;④等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项.ξ2常用结论1.过双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)上一点M(x0,y0)的切线方程为x0xa2−y0yb2=1.2.双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P(x0,y0)为双曲线上任意一点,且不与点F1,F2共线,∠F1PF2=θ,则△F1PF2的面积为b2𝑡𝑎𝑛θ2.3.若点P(x0,y0)在双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)内,则被点P所平分的中点弦的方程为x0xa2−y0yb2=x02a2−y02b2.常用结论4.双曲线中点弦的斜率公式设点M(x0,y0)为双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的弦AB(不平行y轴)的中点,则kAB·kOM=b2a2,即kAB=b2x0a2y0.5.双曲线的焦半径公式双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦点为F1(-c,0),F2(c,0),当点M(x0,y0)在双曲线右支上时,|MF1|=ex0+a,|MF2|=ex0-a;当点M(x0,y0)在双曲...
