高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHAUSHEJI4.1.3幂函数第4章2021内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释1.通过具体实例,了解幂函数的概念,体会蕴含的运算规律.(数学运算)2.结合幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=x-1,y=的图象,理解它们的变化规律.(直观想象)3.能利用幂函数模型解决简单的实际问题.(数学运算)x12思维脉络课前篇自主预习情境导入给出下列5个说法:①如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需要支付p=w元,这里p是w的函数.②如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=a2,这里S是a的函数.③如果正方体的棱长为a,那么正方体的体积V=a3,这里V是a的函数.④如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形的边长a=,这里a是S的函数.𝑆12⑤如果某人t秒内骑车行进了1米,那么他骑车的平均速度v=t-1米/秒,这里v是t的函数.问题:上述5个说法中,若自变量都用x表示,函数值用y表示,则对应的函数解析式分别是什么?知识点一:幂函数的定义一般来说,当x为自变量而α为非零实数时,函数y=xα叫作(α次)幂函数.正整数次幂函数的倒数y=是负整数次幂函数.一般写成y=x-n,这里n是正整数,x≠0.负整数次幂函数和正整数次幂函数,统称为整数次幂函数.1xn自变量x的平方根ξx或立方根ξx3,是最常见的分数次幂函数.知识梳理名师点析幂函数的特征(1)xα的系数为1;(2)xα的底数是自变量x,指数α为常数;(3)项数只有一项.符合以上三个特征的函数才是幂函数.微练习在函数y=,y=3x2,y=x2+2x,y=1中,幂函数的个数为.1x4答案1解析函数y==x-4为幂函数;函数y=3x2中x2的系数不是1,所以它不是幂函数;函数y=x2+2x不是y=xα(α∈R)的形式,所以它不是幂函数;函数y=1与y=x0=1(x≠0)不是同一个函数,所以y=1不是幂函数.1x4知识点二:幂函数的性质与图象1.幂函数的性质一般地,对于实数次幂函数y=xα(α≠0)α的范围幂函数性质α>0在[0,+∞)上有定义且递增,值域为[0,+∞),函数图象过(0,0)和(1,1)两点可借助幂运算的基本不等式推出α<0在(0,+∞)上有定义且递减,值域为(0,+∞),函数图象过点(1,1),向上与y轴正向无限接近,向右与x轴正向无限接近2.在同一平面直角坐标系中,幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=𝑥12,y=x-1的图象如下图所示.名师点析1.因为幂函数的定义域受α的影响,所以上述性质仅仅是归纳了共有的性质,即当α>0时,归纳了在[0,+∞)上所有幂函数共有的性质,切不要以为此时幂函数在定义域上的值域就是[0,+∞);同理,当α<0时,归纳了在(0,+∞)上所有幂函数共有的性质.2.对于具体幂函数的性质通...
