高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHUASHEJI1.3向量的数乘第1章2022内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释1.通过实例分析,掌握平面向量数乘运算及运算法则,理解其几何意义.(数学抽象、直观想象)2.理解两个平面向量共线的含义.(数学抽象、直观想象)3.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.(数学运算、直观想象)思维脉络课前篇自主预习【激趣诱思】在疾风骤雨、雷电交加的夜晚,为什么我们总是先看到闪电,后听到雷声?这是因为在同一方向上光速远远大于声速.经测量,光速的大小约为声速的8.7×105倍.一重物由高空自由落下,由自由落体运动的速度公式vt=gt可知,它在1s末和2s末的速度大小分别为v1=9.8m/s和v2=19.6m/s.显然v2=2v1,并且方向都是竖直向下.上述情境中涉及的速度之间有什么关系?【知识点拨】知识点一:向量的数乘1.向量的数乘的定义一般地,实数λ与向量a的乘积是一个向量,记作λa,称为a的λ倍,它的长度|λa|=|λ||a|.(1)当λ≠0且a≠0时,λa的方向如下:①当λ>0时,与a同向;②当λ<0时,与a反向.(2)当λ=0或a=0时,λa=0a=0或λa=λ0=0.求向量的实数倍的运算称为向量的数乘.2.向量的数乘的几何意义向量数乘的几何意义就是把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小.3.向量的线性运算:我们把向量的加法、减法、数乘运算统称为向量的线性运算.要点笔记对向量的数乘的理解(1)实数与向量可以求乘积,但不能进行加减运算.如λ+a,λ-a均没有意义.(2)若λa=0,则λ=0或a=0.微判断(1)对于任意的向量a,总有0·a=0.()(2)当λ>0时,|λa|=λa.()(3)若a≠0,λ≠0,则a与-λa的方向相反.()答案(1)×(2)×(3)×微练习已知向量a与向量b(如图),求作向量-2.5a和向量2a-3b.解作法如图所示.向量-2.5a的长度是向量a的长度的2.5倍,方向与a相反.以O为起点,分别作𝑂𝐴ሬሬሬሬሬԦ=2a,𝑂𝐵ሬሬሬሬሬԦ=3b,连接BA,则𝐵𝐴ሬሬሬሬሬԦ=𝑂𝐴ሬሬሬሬሬԦ−𝑂𝐵ሬሬሬሬሬԦ=2a-3b.知识点二:共线向量1.定义:当非零向量a,b方向相同或相反时,我们既称a,b共线,也称a,b平行,并且用符号“∥”来表示它们共线(或平行),记作a∥b.我们规定:零向量与所有的向量平行.2.两个向量平行⇔其中一个向量是另一个向量的实数倍.即a∥b⇔存在实数λ,使得b=λa或a=λb.该结论通常称为共线向量基本定理3.向量a,b的夹角:设a,b是两个非零向量,任选一点O,作=a,=b,则射线OA,OB所夹的最小非负角∠AOB=θ称为向量a,b的夹角,记作
.找两向量夹角时,需通过平移使两向量起点重合𝑂𝐴ሬ...
