高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHUASHEJI1.6.1余弦定理第1章2022内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释1.掌握余弦定理及其变形.(数学抽象)2.借助向量的运算,探索余弦定理的证明过程.(逻辑推理)3.能用余弦定理解决简单的实际问题.(数学运算)思维脉络课前篇自主预习【激趣诱思】隧道工程的设计,经常要测算山脚的长度,工程技术人员先在地面上选一适当的位置A,量出A到山脚B,C的距离,再利用经纬仪测出A对山脚BC(即线段BC)的张角,那么如何求出山脚的长度BC呢(如图)?显然,用以前所学知识很难解决这个问题,为此我们来学习一种新的解决办法——余弦定理.【知识点拨】知识点一:余弦定理1.文字语言:三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.2.符号语言:(1)在△ABC中,a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC.注:两种形式侧重点不同,(1)侧重求边,(2)侧重求角.要点笔记应用余弦定理解三角形的类型(1)已知两边及其夹角求第三边及其他两角.(2)已知三边求三角.(2)变形:cosA=b2+c2-a22bc,cosB=a2+c2-b22ac,cosC=a2+b2-c22ab.微练习(1)在△ABC中,若AB=1,AC=3,∠A=60°,则BC=.(2)已知△ABC是等腰三角形,且a=c=5,∠B=120°,则b=.答案(1)ξ7(2)5ξ3解析(1)由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosA=12+32-2×1×3cos60°=7,所以BC=ξ7.(2)由余弦定理,得b2=a2+c2-2accosB=52+52-2×5×5cos120°=75,所以b=5ξ3.知识点二:解三角形从已知三角形的某些元素出发求这个三角形其他元素的过程叫作解三角形.微练习在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=1,b=ξ7,c=ξ3,则∠B=.答案5𝜋6解析由已知a=1,b=ξ7,c=ξ3,根据余弦定理,得cosB=a2+c2-b22ac=1+3-72ξ3=-ξ32. 0<∠B<π,∴∠B=5𝜋6.课堂篇探究学习探究一已知两边及一角解三角形例1(1)在△ABC中,已知b=3,c=2ξ3,∠A=30°,求a;(2)在△ABC中,已知b=3,c=3ξ3,∠B=30°,求角A、角C和边a.分析(1)已知两边及其夹角,可直接利用余弦定理求出第三条边.(2)已知两边及一边的对角,可利用余弦定理列方程求解.解(1)由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA=32+(2ξ3)2-2×3×2ξ3cos30°=3,所以a=ξ3.(2)由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得32=a2+(3ξ3)2-2a×3ξ3×cos30°,即a2-9a+18=0,解得a=3或a=6.当a=3时,∠A=30°,∠C=120°;当a=6时,由余弦定理,得cosA=𝑏2+𝑐2-𝑎22𝑏𝑐=32+(3ξ3)2-622×3×3ξ3=0.∴∠A=90°,∴∠C=60°.反思感悟已知三角形的两边及一角解三角形...
