高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHUASHEJI1.6.2正弦定理第1章2022内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释1.掌握正弦定理及其变形.(数学抽象)2.借助向量的运算,探索正弦定理的证明过程.(逻辑推理)3.能用正弦定理解决简单的实际问题.(数学运算)思维脉络课前篇自主预习【激趣诱思】从金字塔的建造到尼罗河两岸土地的丈量,从大禹治水到都江堰的修建,从天文观测到精密仪器的制造,都离不开对几何图形的测量、设计和计算.测量河流两岸码头之间的距离、确定待建隧道的长度、确定卫星的角度与高度等问题,都可以转化为求三角形的边与角的问题,这就需要我们进一步探索三角形的边角关系.通常我们是通过正弦定理与余弦定理来研究三角形中的边角关系,这一节我们来学习正弦定理.【知识点拨】知识点一:正弦定理1.2.扩充的正弦定理:设△ABC外接圆的半径为R,则a𝑠𝑖𝑛A=b𝑠𝑖𝑛B=c𝑠𝑖𝑛C=2R.要点笔记正弦定理解三角形的常见类型(1)已知三角形的两边及一边所对的角,求剩余的边和角.(2)已知两角和任一边,求另外两边和一角.微练习(1)在△ABC中,若a=4b,则𝑠𝑖𝑛A𝑠𝑖𝑛B=.(2)在△ABC中,若a𝑠𝑖𝑛A=c𝑐𝑜𝑠C,则角C=.答案(1)4(2)45°解析(1)因为a𝑠𝑖𝑛A=b𝑠𝑖𝑛B,所以𝑠𝑖𝑛A𝑠𝑖𝑛B=ab=4bb=4.(2)因为a𝑠𝑖𝑛A=c𝑠𝑖𝑛C,又因为a𝑠𝑖𝑛A=c𝑐𝑜𝑠C,所以sinC=cosC,所以C=45°.知识点二:公式的其他变形公式的其他变形(R为△ABC外接圆的半径)(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;(3)a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC.(2)sinA=a2R,sinB=b2R,sinC=c2R;微练习在△ABC中,若2asinC=c,则角A=.答案45°或135°ξ2解析设△ABC的外接圆的半径为R,由正弦定理,得2×2RsinAsinC=ξ2×2RsinC,因此sinA=ξ22,故∠A=45°或135°.知识点三:三角形的面积公式1.在△ABC中,若ha,hb,hc分别表示边a,b,c上的高,则S△ABC=12aha=12bhb=12chc.2.在△ABC中,若a,b,c所对的角分别是A,B,C,则S△ABC=12absinC=12acsinB=12bcsinA.名师点析三角形面积公式的其他形式(1)S△ABC=abc4R,其中R为△ABC的外接圆半径;(2)S△ABC=2R2sinAsinBsinC,其中R为△ABC的外接圆半径;(3)S△ABC=12(a+b+c)r,其中r为△ABC的内切圆半径;(4)S△ABC=ටp(p-a)(p-b)(p-c),其中p=a+b+c2.微练习(1)在△ABC中,若AB=3,BC=4,∠B=120°,则△ABC的面积等于.(2)在△ABC中,若a=2,b=8,S△ABC=4,则∠C=.答案(1)3ξ3(2)30°或150°解析(1)S=12AB·BC·sinB=12×3×4sin120°=3ξ3.(2)由S△ABC=12absinC,得4=12×2×8sinC,解得sinC=12,故∠C=...
