数学第三章导数及其应用2022高考数学核按钮·专点突破核心考点基础自测必备知识综合突破一导数的综合问题第1课时导数与函数零点(2020四川达州高三模拟)已知函数f(x)＝2x＋cosx－a(a∈R)．(1)求证：f(x)是增函数；(2)讨论函数g(x)＝x2－ax＋sinx的零点个数．第三章导数及其应用2022高考数学核按钮·专点突破核心考点基础自测必备知识解：(1)证明：f′(x)＝2－sinx>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．(2)g′(x)＝2x－a＋cosx，由(1)知g′(x)是增函数，g′a2－1＝cosa2－1－2<0，g′a2＋1＝2＋cos(a2＋1)>0，所以∃x0∈a2－1，a2＋1，使g′(x0)＝2x0－a＋cosx0＝0，则g(x)在(－∞，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，g(x)min＝g(x0)＝x20－ax0＋sinx0，又a＝2x0＋cosx0，所以g(x)min＝g(x0)＝－x20－x0cosx0＋sinx0．令g′(x0)＝－2x0＋x0sinx0＝－x0(2－sinx0)＝0，得x0＝0，当x0<0时，g′(x0)>0，当x0>0时，g′(x0)<0，所以g(x0)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，所以g(x0)max＝g(0)＝0，此时函数g(x)有一个零点，把x0＝0代入a＝2x0＋cosx0，得a＝1；当x0≠0，a≠1时，g(x0)<0，即g(x)min＝g(x0)<0，此时函数g(x)有两个零点．综上，当a＝1时，函数g(x)有一个零点；当a≠1时，函数g(x)有两个零点．第三章导数及其应用2022高考数学核按钮·专点突破核心考点基础自测必备知识【点拨】①零点个数的讨论主要看函数的单调性及相应点的函数值符号，本题第(2)问令g′(x)＝f(x)＝0，恰当取值寻找g′(x)＝0的根所在区间；②一次求导解决了函数的单调区间及最值问题，再次对最值对应函数求导解决了最值的“最值”符号问题，从而分析出原函数零点的个数．第三章导数及其应用2022高考数学核按钮·专点突破核心考点基础自测必备知识(2020广东珠海高三月考)已知函数f(x)＝xex＋ax2－2(ex＋ax)＋a，a≥0．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)讨论f(x)的零点的个数．第三章导数及其应用2022高考数学核按钮·专点突破核心考点基础自测必备知识解：(1)因为f(x)＝xex＋ax2－2(ex＋ax)＋a，所以f′(x)＝(x－1)(ex＋2a)，当a≥0时，ex＋2a>0，故x<1时，f′(x)<0，x>1时，f′(x)>0．所以a≥0时，f(x)的单调递减区间是(－∞，1)，单调递增区间是(1，＋∞)．(2)①当a>0时，因为f′(1)＝0且f(x)的单调递减区间是(－∞，1)，单调递增区间是(1，＋∞)，所以f(1)＝－e<0是f(x)的极小值，也是最小值，f(2)＝a>0，取b<0且b
