数学第七章立体几何2022高考数学核按钮·专点突破核心考点基础自测必备知识综合突破四立体几何综合问题考点一求空间几何体的表面积与体积(2020全国卷Ⅰ)如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，∠APC＝90°．(1)证明：平面PAB⊥平面PAC；(2)设DO＝2，圆锥的侧面积为3π，求三棱锥PABC的体积．第七章立体几何2022高考数学核按钮·专点突破核心考点基础自测必备知识解：(1)证明：由题设可知，PA＝PB＝PC，由于△ABC是正三角形，故可得△PAC≌△PAB，△PAC≌△PBC．又∠APC＝90°，故∠APB＝90°，∠BPC＝90°，从而PB⊥PA，PB⊥PC，故PB⊥平面PAC，所以平面PAB⊥平面PAC．(2)设圆锥的底面半径为r，母线长为l．由题设可得rl＝3，l2－r2＝2．解得r＝1，l＝3，从而AB＝3．由(1)可得PA2＋PB2＝AB2，故PA＝PB＝PC＝62．所以三棱锥PABC的体积为13×12×PA×PB×PC＝13×12×(62)3＝68．第七章立体几何2022高考数学核按钮·专点突破核心考点基础自测必备知识【点拨】本题考查圆锥及正三棱锥的结构特征，空间线、面位置关系，证明平面与平面垂直，求锥体的体积．注意空间垂直关系的相互转化．第七章立体几何2022高考数学核按钮·专点突破核心考点基础自测必备知识(2020山东新高考模拟改编)如图，四棱锥SABCD中，底面ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，E，F分别为AD，SC的中点，EF与平面ABCD所成的角为45°．(1)证明：EF为异面直线AD与SC的公垂线；(2)若BC＝2，EF＝12BC，求点C到平面BEF的距离．第七章立体几何2022高考数学核按钮·专点突破核心考点基础自测必备知识解：(1)证明：连接AC，BD交于点G，连接EG，FG．因为四边形ABCD为矩形，且E，F分别为AD，SC的中点，所以EG∥CD，且FG∥SA．又SA⊥平面ABCD，所以GF⊥平面ABCD，所以GF⊥AD．又AD⊥GE，GE∩GF＝G，所以AD⊥平面GEF，所以AD⊥EF．因为EF与平面ABCD所成的角为45°，所以∠FEG＝45°，从而GE＝GF，所以SA＝AB．取SB的中点H，连接AH，FH，则由F，H分别为SC，SB的中点，从而FH綊12BC綊AE，从而四边形AEFH为平行四边形．又由SA＝AB，知AH⊥SB．又BC⊥平面SAB，所以AH⊥BC．又SB∩BC＝B，从而AH⊥平面SBC．从而EF⊥平面SBC，SC⊂平面SBC，从而EF⊥SC．综上知，EF为异面直线AD与SC的公垂线．第七章立体几何2022高考数学核按钮·专点突破核心考点基础自测必备知识(2)因为EF＝12BC，BC＝2，则EF＝1，从而GE＝GF＝22，所以SA＝AB＝2．由(1)知EF⊥平面BCF，BC⊥BS，又F为S...
