高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHUASHEJI章末整合第2章2022内容索引0102知识网络整合构建专题归纳思维深化知识网络整合构建专题归纳思维深化专题一三角函数的求值例1试求ξ3tan10°+4sin10°的值.解原式=ξ3sin10°+4sin10°cos10°cos10°=ξ3sin10°+2sin20°cos10°=ξ3sin(30°-20°)+2sin20°cos10°=ξ3sin30°cos20°-ξ3cos30°sin20°+2sin20°cos10°=ξ32cos20°+12sin20°cos10°=sin(60°+20°)cos10°=sin80°cos10°=1.例2已知cosቀ𝛼-𝛽2ቁ=-35,sinቀ𝛼2-𝛽ቁ=513,且π2<α<π,0<β<π2,求cos(α+β)的值.解易知α+β=2ቂቀ𝛼-𝛽2ቁ-ቀ𝛼2-𝛽ቁቃ=2×𝛼+𝛽2. cosቀ𝛼-𝛽2ቁ=-35,且π2<α<π,0<β<π2,∴π4<α-𝛽2<π.∴sinቀ𝛼-𝛽2ቁ=ට1-cos2ቀ𝛼-𝛽2ቁ=ට1-ቀ-35ቁ2=45.又sinቀ𝛼2-𝛽ቁ=513,-π4<𝛼2-β<π2,∴cosቀ𝛼2-𝛽ቁ=ට1-sin2ቀ𝛼2-𝛽ቁ=ට1-ቀ513ቁ2=1213.∴cos𝛼+𝛽2=cosቂቀ𝛼-𝛽2ቁ-ቀ𝛼2-𝛽ቁቃ=cosቀ𝛼-𝛽2ቁcosቀ𝛼2-𝛽ቁ+sinቀ𝛼-𝛽2ቁsin(𝛼2-β)=ቀ-35ቁ×1213+45×513=-1665.∴cos(α+β)=2cos2𝛼+𝛽2-1=2×ቀ-1665ቁ2-1=-37134225.名师点析三角函数的求值问题通常包括三种类型:给角求值、给值求值、给值求角.给角求值的关键是将问题转化为特殊角的三角函数值,给值求值的关键是结合条件和结论中的角合理拆角、配角,给值求角的关键是确定角的范围.变式训练1(2021江苏无锡高一期末)已知角α是第二象限角,且tanα=-2.(1)求sin2α+2sinαcosα的值;(2)求sinα-5π4的值.ξ2解(1) 角α是第二象限角,且tanα=-2ξ2,∴sin2α+2sinαcosα=sin2𝛼+2sin𝛼cos𝛼sin2𝛼+cos2𝛼=tan2𝛼+2tan𝛼tan2𝛼+1=8-4ξ28+1=8-4ξ29.(2)根据角α是第二象限角,且tanα=-2ξ2=sin𝛼cos𝛼,sin2α+cos2α=1,可得sinα=2ξ23,cosα=-13.∴sin(α-5π4)=sin(α+3π4)=sinαcos3π4+cosαsin3π4=2ξ23×(-ξ22)+(-13)×ξ22=-4+ξ26.专题二三角函数的化简与证明例3化简:(1+sin𝛼+cos𝛼)ቀsin𝛼2-cos𝛼2ቁξ2+2cos𝛼(π<α<2π).解原式=ቀ2cos2𝛼2+2sin𝛼2cos𝛼2ቁቀsin𝛼2-cos𝛼2ቁට4cos2𝛼2=2cos𝛼2ቀcos𝛼2+sin𝛼2ቁቀsin𝛼2-cos𝛼2ቁ2ቚcos𝛼2ቚ=cos𝛼2ቀsin2𝛼2-cos2𝛼2ቁቚcos𝛼2ቚ=-cos𝛼2cos𝛼ቚcos𝛼2ቚ. π<α<2π,∴π2<𝛼2<π.∴cos𝛼2<0.∴原式=cosα.例4求证:sin3α=4sinαsin(60°-α)sin(60°+α).分析右边较为复杂,可考虑从右边向左边证明.证明右边=4sinα(sin60°cosα-cos60°sinα)·(sin60°cosα+co...
