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第2课时直线与椭圆的位置关系[教材要点]要点直线与椭圆的位置关系直线y＝kx＋m与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的位置关系：联立y＝kx＋m，x2a2＋y2b2＝1，消去y得一个关于x的一元二次方程位置关系解的个数Δ的取值相交____解Δ____0相切____解Δ____0相离____解Δ____0两>一＝无<状元随笔设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b为常数)与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则线段AB叫做直线l被椭圆截得的弦，线段AB的长度叫做弦长，此时有以下弦长公式成立：|AB|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2，或|AB|＝1＋1k2·y1＋y22－4y1y2.推导如下：由两点间的距离公式，得|AB|＝x1－x22＋y1－y22，将y1＝kx1＋b，y2＝kx2＋b代入上式，得|AB|＝x1－x22＋kx1－kx22＝x1－x22＋k2x1－x22＝1＋k2|x1－x2|，而|x1－x2|＝x1＋x22－4x1x2，所以|AB|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2，同理可得|AB|＝1＋1k2|y1－y2|＝1＋1k2·y1＋y22－4y1y2.[基础自测]1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)直线y＝x＋1与椭圆x25＋y24＝1的位置关系是相交．()(2)椭圆上一动点与焦点的距离最大值为a＋c，最小值为a－c.()(3)过椭圆的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为2b2a.()(4)直线与椭圆的位置关系有相交、相切、相离三种情况．()√√√√2．直线y＝x＋1与椭圆x2＋y22＝1的位置关系是()A．相离B．相切C．相交D．无法确定解析：联立y＝x＋1，x2＋y22＝1，消去y，得3x2＋2x－1＝0，Δ＝22＋12＝16>0，∴直线与椭圆相交．故选C.答案：C3．直线x＋2y＝m与椭圆x24＋y2＝1只有一个交点，则m的值为()A．22B．±2C．±22D．±2解析：由x＋2y＝m，x2＋4y2＝4，消去y并整理得2x2－2mx＋m2－4＝0.由Δ＝4m2－8(m2－4)＝0，得m2＝8.∴m＝±22.故选C.答案：C4．若点A(a,1)在椭圆x24＋y22＝1的内部，则a的取值范围是________．解析： 点A在椭圆内部，∴a24＋12<1，∴a2<2，∴－2