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7.3.2离散型随机变量的方差[教材要点]要点离散型随机变量的方差与标准差1.定义：设离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xnPp1p2…pn我们称D(X）＝______________________________________＝____________________________________，为随机变量X的方差，并称D（X）为随机变量X的标准差，记为σ(X）.(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pni＝1n(xi－E(X))2pi2.含义：反映了随机变量取值的离散程度．方差或标准差________，随机变量的取值越集中；方差或标准差________，随机变量的取值越分散．3.性质：D(aX＋b）＝________．越小越大a2D(X)状元随笔随机变量的方差是常数，而样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此样本的方差是随机变量．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近于总体的方差．因此，我们常用样本的方差来估计总体的方差．[基础自测]1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”）(1）离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．(）(2）若a是常数，则D(a）＝0.(）(3）随机变量的方差即为总体方差，不随抽样样本的不同而不同．(）(4）标准差与随机变量本身有相同的单位．(）×√√√2.有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本方差分别为D(X甲）＝11，D(X乙）＝3.4.由此可以估计(）A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较解析：因为D(X甲)>D(X乙)，所以乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐．故选B.答案：B3.已知随机变量X的分布列如下，则X的标准差为(）X135P0.40.1mA.0.95B．3.2C．0.7D．3.56解析：由题意得，E(X)＝1×0.4＋3×0.1＋5×(1－0.4－0.1)＝3.2，∴方差为(1－3.2)2×0.4＋(3－3.2)2×0.1＋(5－3.2)2×0.5＝1.936＋0.004＋1.62＝3.56，∴X的标准差为3.56，故选D.答案：D4.已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k）＝13，k＝1，2，3，则D(3ξ＋5）＝________．解析：由题意得E(ξ)＝13×(1＋2＋3)＝2，∴D(ξ)＝13[(1－2)2＋(2－2)2＋(3－2)2]＝23，D(3ξ＋5)＝32×D(ξ)＝6.答案：6题型一离散型随机变量的方差与标准差——师生共研例1(1）甲、乙两人对目标各射击一次，甲命中目标的概率为23，乙命中目标的概率为45，若命中目标的人数为X，则D(X）＝(）A．85225B．86225C．88225D．89225B(2）根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm）对工期的影响如下表所示．降水量XX<30030...