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5.2.3简单复合函数的导数[教材要点]要点一复合函数的定义一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成________的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝________.要点二复合函数的求导法则复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝________，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积，即若y＝f(g(x))，则y′＝[f(g(x))]′＝________xf(g(x))y′u·u′xf′(g(x))·g′(x)状元随笔(1)复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数．(2)中学阶段不涉及较复杂的复合函数的求导问题，只研究y＝f(ax＋b)型复合函数的求导，不难得到y′＝(ax＋b)′·f′(ax＋b)＝af′(ax＋b)．[基础自测]1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)函数y＝log3(x＋1)是由y＝log3t及t＝x＋1两个函数复合而成的．()(2)函数f(x)＝e－x的导数是f′(x)＝e－x.()(3)函数f(x)＝ln(1－x)的导数是f′(x)＝11－x.()(4)函数f(x)＝sin2x的导数是f′(x)＝2cos2x.()√××√2．(多选题)下列所给函数为复合函数的是()A．y＝ln(x－2)B．y＝lnx＋x－2C．y＝(x－2)lnxD．y＝ln2x解析：函数y＝ln(x－2)是由函数y＝lnu和u＝g(x)＝x－2复合而成的，A符合；函数y＝ln2x是由函数y＝lnu和u＝2x复合而成的，D符合，B与C不符合复合函数的定义．故选AD.答案：AD3．若函数f(x)＝3cos(2x＋π3)，则f′(π2)等于()A．－33B．33C．－63D．63解析：f′(x)＝－6sin(2x＋π3)∴f′(π2)＝－6sin2×π2＋π3＝6sinπ3＝6×32＝33.故选B.答案：B4．曲线y＝e－x在点(0,1)的切线方程为________．解析： y＝e－x∴y′＝－e－x∴y′|x＝0＝－1∴切线方程为y－1＝－x即x＋y－1＝0答案：x＋y－1＝0题型一求复合函数的导数——师生共研例1写出下列各函数的中间变量，并利用复合函数的求导法则，求出函数的导数．(1)y＝13－4x4；(2)y＝cos(2008x＋8)；(3)y＝21－3x；(4)y＝ln(8x＋6)．解析：(1)引入中间变量u＝φ(x)＝3－4x.则函数y＝13－4x4是由函数f(u)＝1u4＝u－4与u＝φ(x)＝3－4x复合而成的．查导数公式表可得f′(u)＝－4u－5＝－4u5，φ′(x)＝－4.根据复合函数求导法则可得13－4x4′＝f′(u)φ′(x)＝－4u5·(－4)＝16u5＝163－4x5.(2)引入中间变量u＝φ(x)＝2008x＋8，则函数y＝cos(2008x＋8)是由函数f(u)＝cosu与u＝φ(x)＝2008...