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3.2.2双曲线的简单几何性质[教材要点]要点一双曲线的几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)性质焦距|F1F2|＝2c范围__________或________，y∈R__________或__________，y∈R对称性对称轴：________；对称中心：________顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴实轴：线段________，长：________；虚轴：线段________，长：________；半实轴长：________，半虚轴长：________离心率e＝ca∈________性质渐近线y＝±baxy＝±abxx≤－ax≥ay≤－ay≥a坐标轴原点A1A22aB1B22bab(1，＋∞)状元随笔(1)双曲线的范围说明双曲线是非封闭曲线，而椭圆则是封闭曲线．(2)当|x|无限增大时，|y|也无限增大，即双曲线的各支是向外无限延展的．(3)双曲线的渐近线决定了双曲线的形状．由双曲线的对称性可知，当双曲线的两支向外无限延伸时，双曲线与两条渐近线无限接近，但永远不会相交．(4)双曲线形状与e的关系．由于ba＝c2－a2a＝c2a2－1＝e2－1，因此e越大，渐近线的斜率的绝对值就越大，双曲线的开口就越大．要点二等轴双曲线实轴和虚轴__________的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是________，离心率为e＝________.等长y＝±x2[教材答疑]教材P126思考通过比较例5与椭圆一节中的例6可以发现．动点到定点的距离和它到定直线的距离之比是常数，若这个常数大于0小于1，则动点的轨迹是椭圆；若这个常数大于1，则动点的轨迹是双曲线．[基础自测]1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)双曲线的离心率越大，双曲线的开口越开阔．()(2)以y＝±2x为渐近线的双曲线有2条．()(3)方程y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±bax.()(4)离心率e越大，双曲线x2a2－y2b2＝1的渐近线的斜率绝对值越大．()√××√2．实轴长为2，虚轴长为4的双曲线的标准方程是()A．x2－y24＝1B．y2－x24＝1C.x24－y216＝1或y24－x216＝1D．x2－y24＝1或y2－x24＝1解析：由题意知2a＝2,2b＝4∴a＝1，b＝2，∴a2＝1，b2＝4又双曲线的焦点位置不确定，故选D.答案：D3．双曲线x22－y2＝1的渐近线方程是()A．y＝±12xB．y＝±22xC．y＝±2xD．y＝±2x解析：由双曲线方程得：a＝2，b＝1，∴渐近线方程为：y＝±bax＝±22x.故选B.答案：B4．若双曲线x2b2－y2a2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率是________．解析：由题意知渐近线与x轴的夹角θ＝π4∴ab＝tanπ4＝1∴e＝1＋ab2＝2...