第六节双曲线教材回扣·夯实“四基”题型突破·提高“四能”教材回扣·夯实“四基”基础知识1.双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的______________等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的______，两焦点间的距离叫做双曲线的______．距离的差的绝对值焦点焦距【微点拨】(1)双曲线定义的数学表达式：P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}(2a<2c)．(2)当a＝c时，点P的轨迹是两条射线；当a>c时，点P不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：________，对称中心：________顶点________________A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线离心率实虚轴实轴|A1A2|＝_____；虚轴|B1B2|＝_____；实半轴长____，虚半轴长____a，b，c的关系c2＝________(c>a>0，c>b>0)坐标轴原点A1(－a，0)，A2(a，0)2a2baba2＋b2【微点拨】(1)双曲线焦点位置看x2与y2的正负，焦点随着正的跑．(2)双曲线的实轴、虚轴与椭圆的长轴、短轴既有区别又有联系，勿将它们混淆．(3)双曲线的焦点总在实轴所在直线上，而椭圆的焦点总在长轴上．(4)双曲线离心率e决定双曲线开口的大小，e越大开口越大．(5)双曲线每一支上的所有点中顶点离焦点最近．××√√答案：B解析：由题可知双曲线的焦点在x轴上，又c2＝a2＋b2＝3＋1＝4，所以c＝2，故焦点坐标为(－2，0)，(2，0)．46题型突破·提高“四能”题型一双曲线的定义及其应用[例1](1)[2022·浙江金华模拟]已知点Q是圆O：x2＋y2＝16(O为坐标原点)上一动点，点P(5，0)，若线段PQ的垂直平分线交直线OQ于点M，则点M的轨迹是()A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线答案：(1)D9解析：(3)设双曲线的右焦点为F1，则由双曲线的定义，可知|PF|＝4＋|PF1|，所以当|PF1|＋|PA|最小时满足|PF|＋|PA|最小．由双曲线的图象，可知当点A，P，F1共线时，满足|PF1|＋|PA|最小，|AF1|即|PF1|＋|PA|的最小值．又|AF1|＝5，故所求的最小值为9.类题通法双曲线定义的应用主要有两个方面答案：(1)A(2)[2022·安徽芜湖一模]已知定点A(0，2)，B(0，－2)，C(3，2)，以C为一个焦点作过A，B两点的椭圆，则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是________________．答案：(1)A答案：B(3)[2022·天津大港一中月考]已知双曲线的渐近线方程为3x±4y＝0，焦点坐标为(±5，0)，则双曲线的标准方程为________．类题通法求双曲线方程的两种方法答案：(1)B答案：(1)ABD答案：(2)D类题通法求双曲线渐近线方程的两种常用方法答案：(1)B答案：(1)A答案：(2)B[2，＋∞)类题通法求双曲线离心率(或其范围)的两种常用方法答案：(1)A答案：A类题通法与双曲线有关的取值范围问题的解题思路(0，2)
