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第四节直线、平面垂直的判定与性质,教材回扣夯实“四基”,题型突破提高“四能”,教材回扣夯实“四基”,基础知识1.直线与平面垂直(1)定义：一般地，如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直，记作l.直线l叫做平面的_，平面叫做直线l的_直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足,垂线,垂面,(2)判定定理与性质定理,abO,平行,a,【微点拨】(1)直线与平面垂直的定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是同义的，但与“无数条”不同(2)判定定理中的“相交”是关键词，应用定理时不能省略,2平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是_，就说这两个平面互相垂直,直二面角,(2)判定定理与性质定理,垂线,交线,b,【微点拨】面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可,常用结论(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面(3)垂直于同一条直线的两个平面平行(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面,基本技能、思想、活动经验题组一思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)1.已知直线a，b，c，若ab，bc，则ac.()2设m，n是两条不同的直线，是一个平面，若mn，m，则n.()3若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面()4若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则.(),题组二教材改编5已知互相垂直的平面，交于直线l，若直线m，n满足m，n，则()AmlBmnCnl Dmn,答案：C,解析：对于A，m与l可能平行或异面，故A错；对于B、D，m与n可能平行、相交或异面，故B、D错，对于C，因为n，l，所以nl，故C正确，故选C.,6在三棱锥P-ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.(1)若PAPBPC，则点O是ABC的_心,外,解析：(1)如图1，连接OA，OB，OC，OP，在RtPOA，RtPOB和RtPOC中，PAPCPB，所以OAOBOC，即O为ABC的外心,(2)若PAPB，PBPC，PCPA，则点O是ABC的_心,垂,解析：(2)如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于H，D，G.PCPA，PBPC，PAPBP，PC平面PAB，又AB平面PAB，PCAB，ABPO，POPCP，AB平面PGC，又CG平面PGC，ABCG，即CG为ABC边AB上的高同理可证BD，AH分别为ABC边AC，BC上的高，即O为ABC的垂心,题组三易错自纠7若l，m为两条不同的直线，为平面，且l，则“m”是“ml”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件,答案：A,解析：由l，且m能推出ml，充分性成立；若l，且ml，则m或者m，必要性不成立，因此“m”是“ml”的充分不必要条件，故选A.,8已知直线a和平面，若，a，则a与的位置关系为_,a或a,题型突破提高“四能”,题型一空间中垂直关系的判定例1(1)(多选)已知a，b表示两条不同的直线，表示两个不同的平面，下列说法正确的是()A若a，b，则abB若a，b，ab，则C若a，ab，则bD若a，ab，则b或b,答案：(1)ABD,解析：(1)对于A，若a，则a，又b，所以ab，故A正确；对于B，若a，ab，则b或b，所以存在直线m，使得mb，又b，所以m，所以，故B正确；对于C，若a，ab，则b或b，又，所以b或b，故C错误；对于D，若a，ab，则b或b，故D正确故选ABD.,(2)2022浙江丽水模拟已知直线l，m，平面，则()A若l，ml，则mB若l，l，则C若l，则lD若m，l，lm，则,答案：(2)B,解析：(2)在长方体ABCD-EFGH中，如图对于A：若l，ml，则m，取平面ABCD为，即直线AB为l，CD为m，则l，ml，但是m，所以m不成立，故A不正确；对于B：因为l，作平面，使得l，且m，由线面平行的性质可得：lm.因为l，所以m，又m，所以.故B正确；对于C：若l，则l，取平面ABCD为，平面ADHE为，直线EH为l，此时满足“l，”，但是l，所以l不满足，故C不正确；对于D：若m，l，lm，则，取平面ABCD为，平面ADHE为，直线BC为l，直线EH为m，此时满足“m，l，lm”，但是、相交，不满足.故D错误故选B.,类题通法,巩固训练1下列命题中错误的是()A如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面B如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面C如果平面平面，平面平面，l，那么l平面D如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面,答案：D,解析：对于A，如图所示：，AF平面PBDC，故A正确；对于B，如果平面内存在直线垂直于平面，则平面垂直于平面，故B正确；对于C，如图所示：在内取一点Q，作QMCP，QNCD，因为平面平面，平面平面，所以QM平面，QN平面，又因为l，所以QMl，QNl，又QMQNQ，则l平面，故C正确；对于D，如图所示：在正方体中，平面APCF平面PBDC，AF平面PBDC，故D错误故选D.,在正方体中，平面APCF平面PBDC,题型二线面垂直的判定与性质例2如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点求证：(1)CDAE；,证明：(1)在四棱锥P ABCD中，PA底面ABCD，CD平面ABCD，PACD.ACCD，PAACA，CD平面PAC.而AE平面PAC，CDAE.,(2)PD平面ABE.,证明：(2)由PAABBC，ABC60，可得ACPA.E是PC的中点，AEPC.由(1)知，AECD，且PCCDC，AE平面PCD.而PD平面PCD，AEPD.PA底面ABCD，PAAB.又ABAD，且PAADA，AB平面PAD，而PD平面PAD，ABPD.又ABAEA，PD平面ABE.,类题通法证明直线与平面垂直与利用线面垂直的性质证明线线垂直的步骤,巩固训练2在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为D1D的中点，O为底面ABCD的中心，求证：B1OAP.,证明：如图，易证AB1CB1.又因为O为AC的中点，所以B1OAC.在矩形BDD1B1中，O，P分别为BD，D1D的中点易证PODOB1B，所以PODOB1B.所以B1OPO.又ACPOO，所以B1O平面PAC.又AP平面PAC，所以B1OAP.,题型三面面垂直的判定与性质例32021新高考卷如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD平面BCD，ABAD，O为BD的中点(1)证明：OACD；,解析：(1)因为ABAD，O为BD中点，所以AOBD.因为平面ABD平面BCDBD，平面ABD平面BCD，AO平面ABD，因此AO平面BCD，因为CD平面BCD，所以AOCD.,(2)若OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE2EA，且二面角E BC-D的大小为45，求三棱锥ABCD的体积,解析：(2)作EFBD于F,作FMBC于M，连接EM.因为AO平面BCD，所以AOBD,AOCD，所以EFBD,EFCD,BDCDD，因此EF平面BCD，即EFBC.因为FMBC，FMEFF，所以BC平面EFM，即BCME.则EMF为二面角EBCD的平面角，EMF 4 因为BOOD，OCD为正三角形，所以BCD为直角三角形因为BD2CD，所以FM 1 2 BF 1 2(1 1 3)2 3 从而EFFM 2 3，所以AO1因为AO平面BCD，所以V 1 3 AOSBCD 1 3 1 1 2 1 3 3 6.,类题通法利用面面垂直的判定定理证明面面垂直的一般方法,巩固训练3如图，在四棱锥P-ABCD中，ABAC，ABPA，ABCD，AB2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点求证：(1)CE平面PAD；,证明：(1)方法1：取PA的中点H，连接EH，DH.因为E为PB的中点，所以EH綊 1 2 AB.又CD綊 1 2 AB，所以EH綊CD.所以四边形DCEH是平行四边形，所以CEDH.又DH平面PAD，CE平面PAD，所以CE平面PAD.,(方法2)连接CF.因为F为AB的中点，所以AF 1 2 AB.又CD 1 2 AB，所以AFCD.又AFCD，所以四边形AFCD为平行四边形因此CFAD，又CF平面PAD，AD平面PAD，所以CF平面PAD.因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EFPA.又EF平面PAD，PA平面PAD，所以EF平面PAD.因为CFEFF，故平面CEF平面PAD.又CE平面CEF，所以CE平面PAD.,(2)平面EFG平面EMN.,证明：(2)因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EFPA.又因为ABPA，所以EFAB，同理可证ABFG.又因为EFFGF，EF，FG平面EFG，所以AB平面EFG.又因为M，N分别为PD，PC的中点，所以MNCD.又ABCD，所以MNAB，所以MN平面EFG.又因为MN平面EMN，所以平面EFG平面EMN.,题型四平行、垂直关系的综合问题例4如图，四棱锥P ABCD中，AD平面PAB，APAB.(1)求证：CDAP；,证明：(1)因为AD平面PAB，AP平面PAB，所以ADAP.又APAB，ABADA，AB平面ABCD，AD平面ABCD，所以AP平面ABCD.因为CD平面ABCD，所以CDAP.,(2)若CDPD，求证：CD平面PAB.,证明：(2)由(1)知CDAP，又因为CDPD，PDAPP，PD平面PAD，AP平面PAD，所以CD平面PAD.因为AD平面PAB，AB平面PAB，所以ABAD.又APAB，APADA，AP平面PAD，AD平面PAD，所以AB平面PAD.由得CDAB，因为CD平面PAB，AB平面PAB，所以CD平面PAB.,类题通法,巩固训练4如图，在四面体A-BCD中，平面BAD平面CAD，BAD90，M，N，Q分别为棱AD，BD，AC的中点(1)求证：CD平面MNQ；,证明：(1)在ACD中，因为M，Q分别为棱AD，AC的中点，所以MQCD，又CD平面MNQ，MQ平面MNQ，所以CD平面MNQ.,(2)求证：平面MNQ平面CAD.,证明：(2)因为M，N分别为棱AD，BD的中点，所以MNAB，又BAD90，所以MNAD.因为平面BAD平面CAD，平面BAD平面CADAD，且MN平面ABD，所以MN平面ACD，又MN平面MNQ，所以平面MNQ平面CAD.,