3.2.1双曲线及其标准方程[教材要点]要点一双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的____________________等于非零常数______________的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的__________．距离的差的绝对值(小于|F1F2|)焦距状元随笔要注意定义中的限制条件：“小于|F1F2|”“绝对值”“非零”．(1)若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)．若将其改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点轨迹不存在．(2)若将绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹是双曲线的一支．(3)若将“等于非零常数”改为“等于零”，则此时动点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线．要点二双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形焦点坐标F1(－c,0)F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)a，b，c的关系c2＝________a2＋b2状元随笔(1)标准方程中的两个参数a和b确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件．(2)焦点F1，F2的位置是双曲线的定位条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，即若x2的系数为正，则焦点在x轴上；若y2的系数为正，则焦点在y轴上．(3)在双曲线的标准方程中，因为a，b，c三个量满足c2＝a2＋b2，所以长度分别为a，b，c的三条线段恰好构成一个直角三角形，且长度为c的线段是斜边，如图所示．[教材答疑]教材P121探究设M(x，y)，则kAM＝yx＋5(x≠－5)，kBM＝yx－5(x≠5)．由题意，知kAM·kBM＝49，即yx＋5·yx－5＝49(x≠±5)．化简、整理，得x225－y21009＝1(x≠±5)．因此，点M的轨迹是焦点在x轴上的双曲线(除A，B两点外)．与3.1节例3比较可以发现，一个动点M与两个定点F1(－a,0)，F2(a,0)(a>0)连线的斜率之积为一个常数k，则当k＝b2a2时，轨迹为双曲线(除F1，F2两点外)，方程为x2a2－y2b2＝1(x≠±a)；当k＝－b2a2(a2≠b2)时，轨迹为椭圆(除F1，F2两点外)，方程为x2a2＋y2b2＝1(x≠±a)；当k＝－1时，轨迹为圆(除F1，F2两点外)，方程为x2＋y2＝a2(x≠±a)．[基础自测]1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．()(2)双曲线标准方程中的两个参数a和b确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件．()(3)双曲线的焦点F1，F2的位置是双曲线的定位条件，它决定了双曲线标准方程的类型．()(4)点P到两...
