2612g2.3.ppt

2.3数学归纳法学习归纳法是一种特潴豹的证明方法主要用于研究与正整数有关的数学题.例如，对于数列a已知a1=1,an+1=a,(n=12以通过对n=123,4前41+an项的归纳我们已经猜想出其通项酝式为a=一.但n是，我们只能肯定这个猜想对前4项成立而不敢肯定对后续的项也成立这个猜想需要证明自然地我们会想到从n=5开始一个个往下验证一般来说与正整数n有关的命题当n比较小时可以逐个验证但当n较大时，验证起来会很麻烦特别是证明取所有正整数都成立命题时，逐一思考这个游戏中能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？可以看出，只要满足以下两个条件，所有多米诺骨牌就都能倒下：(1)第一块骨牌倒下；(2)任意相邻两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下思考 你认为条件(2)的作用是什么？可以看出，条件(2)事实上给出了一个递推关系：当第k块倒下时，相邻的第k+1块也倒下这样，只要第1块骨牌倒下，其他所有的骨牌就能够相继倒下.事实上，无论有多少块骨牌，只要保证(1)(2)成立，那么所有骨牌一定可以全部倒下思考你认为证明数列的通处式是a=1这个n猜想与上述多米诺骨蝣戏有相似性？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？由条件，容易知道n=1时猜想成立.这就相当于游戏的条件()类比条件(2)，可以考虑证明一个递推关系：如果n=k时猜想成立，即ak=,那么当n=k+时猜想也成立，即ak1=k+11事实上，如果ak=,那么akak1k1+ak-11十即n=K+1时猜想也成立这样，对于猜想，由已知n=1成立，就有n=2也成立；n=2成立，就有n=3也成立；n=3成立，就有n=4也成立；n=4成立，就有n=5也成立所以，对任意的正整数n,猜想都成立，即数列的通项公式是an=n一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤：(归纳奠基)证明当n取第一个值n时命题成立；2)归纳递推)假设当n=kkno,kN时命题成立，证明当n=k+时命题也成立只要完成这两个步骤就可以断定命题对咖开始的所有正整数都成立