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第五节椭圆,教材回扣夯实“四基”,题型突破提高“四能”,教材回扣夯实“四基”,基础知识1.椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的_等于常数(_|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的_，两焦点间的距离叫做椭圆的_，焦距的一半称为_,和,大于,焦点,焦距,半焦距,【微点拨】(1)椭圆定义的数学表达式：PM|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)(2)当2a|F1F2|时，动点P的轨迹是线段F1F2；当2a|F1F2|时，动点P的轨迹不存在,2.椭圆的标准方程和几何性质,axa,byb,bxb,aya,坐标轴,原点,(a，0),(a，0),(0，b),(0，b),(0，a),(0，a),(b，0),(b，0),2a,2b,2c,c a,【微点拨】(1)椭圆的焦点F1，F2必在它的长轴上，焦点跟着分母大的跑(2)椭圆的离心率越接近于1，椭圆越扁；越接近于0，椭圆越圆,常用结论1若点P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，则(1)b|OP|a；(2)ac|PF|ac.2焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的PF1F2叫做焦点三角形r1|PF1|，r2|PF2|，F1PF2，PF1F2的面积为S，则在椭圆 x 2 a 2+y 2 b 2 1(ab0)中，(1)当r1r2，即点P为短轴端点时，最大；(2)Sb2tan 2 c|y0|，当|y0|b，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.,基本技能、思想、活动经验题组一思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)1.平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆()2椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆()3关于x，y的方程mx2ny21(m0，n0，mn)表示的曲线是椭圆()4椭圆 x 2 a 2+y 2 b 2 1(ab0)与椭圆 y 2 a 2+x 2 b 2 1(ab0)的焦距相同(),题组二教材改编5已知椭圆C：x 2 a 2+y 2 4 1的一个焦点为(2，0)，则C的离心率为()A 1 3 B 1 2 C 2 2 D 2 2 3,答案：C,解析：不妨设a0.因为椭圆C的一个焦点为(2，0)，所以焦点在x轴上，且c2，所以a2448，所以a2 2，所以椭圆C的离心率e c a 2 2.故选C.,6若F1(3，0)，F2(3，0)，点P到F1，F2的距离之和为10，则点P的轨迹方程是_,x 2 25+y 2 16 1,解析：因为|PF1|PF2|10|F1F2|6，所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中a5，c3，b a 2 c 2 4，故点P的轨迹方程为 x 2 25+y 2 16 1.,题组三易错自纠7已知椭圆 x 2 36+y 2 25 1上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为_,9,解析：根据题意得椭圆 x 2 36+y 2 25 1中，a6，P是椭圆上的点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且|PF1|3，故|PF1|PF2|2a12.又|PF1|3，|PF2|1239，即点P到另一个焦点的距离为9.,8已知椭圆 x 2 5+y 2 m 1(m0)的离心率e 10 5，则m的值为_,3或 25 3,解析：若a25，b2m，则c 5m，由 c a 10 5，即 5m 5 10 5，解得m3；若a2m，b25，则c m5.由 c a 10 5，即 m5 m 10 5，解得m 25 3.,题型突破提高“四能”,题型一椭圆定义的应用角度1 利用椭圆定义求轨迹方程例1已知两圆C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y29.动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程是()A x 2 64 y 2 48 1B x 2 48+y 2 64 1C x 2 48 y 2 64 1 D x 2 64+y 2 48 1,答案：D,解析：设动圆的圆心M(x，y)，半径为r.因为圆M与圆C1：(x4)2y2169内切，与C2：(x4)2y29外切，所以|MC1|13r，|MC2|3r.|MC1|MC2|16|C1C2|8，由椭圆的定义，点M的轨迹是以C1，C2为焦点，长轴为16的椭圆，则a8，c4，所以b2824248，所以动圆的圆心M的轨迹方程为 x 2 64+y 2 48 1.,类题通法通过对题设条件分析、转化后，能明确动点满足椭圆的定义，便可直接求解其轨迹方程,巩固训练12022湖南长郡中学月考P为椭圆C：x 2 17+y 2 13 1上一动点，F1，F2分别为左、右焦点，延长F1P至点Q，使得|PQ|PF2|，则动点Q的轨迹方程为()A(x2)2y234 B(x2)2y268C(x2)2y234 D(x2)2y268,答案：B,解析：由 x 2 17+y 2 13 1可得：a 17，因为|PF1|PF2|2a2 17，|PQ|PF2|所以|PF1|PQ|F1Q|2a2 17，所以动点Q的轨迹为以F1(2，0)为圆心，2 17 为半径的圆，故动点Q的轨迹方程为(x2)2y268.故选B.,角度2 利用椭圆定义解决焦点三角形问题例22022安徽六安一中月考已如F1，F2是椭圆 x 2 24+y 2 49 1的两个焦点，P是椭圆上一点，3|PF1|4|PF2|，则PF1F2的面积等于()A24 B26C22 2 D24 2,答案：A,解析：由椭圆方程可得焦点在y轴上，a7，b2 6，c a 2 b 2 5，由椭圆定义可得|PF1|PF2|2a14，又3|PF1|4|PF2|，则可解得|PF1|8，|PF2|6，|F1F2|2c10，满足|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，则PF1PF2，S PF 1 F 2 1 2|PF1|PF2|1 2 8624.故选A.,类题通法利用定义求焦点三角形的周长和面积解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义、正弦定理或余弦定理，其中|PF1|PF2|2a两边平方是常用技巧,巩固训练2已知P是椭圆 x 2 16+y 2 9 1上的点，F1，F2是椭圆的两个焦点，F1PF260，则F1PF2的面积_,3 3,解析：由椭圆的方程可得：a4，b3，c a 2 b 2 7，在F1PF2中，|PF1|PF2|2a8，|F1F2|2c2 7，在F1PF2中，由余弦定理可得：|F1F2|2 PF 1 2+PF 2 2 2|PF1|PF2|cos 60，即4c2(|PF1|PF2|)23|PF1|PF2|，可得28643|PF1|PF2|，解得：|PF1|PF2|12，由三角形面积公式可得F1PF2的面积为 1 2|PF1|PF2|sin 60 1 2 12 3 2 3 3.,角度3 利用椭圆定义求最值例32022重庆巴蜀中学月考动点M分别与两定点A(4，0)，B(4，0)连线的斜率的乘积为 3 4，设点M的轨迹为曲线C，已知N(1，3)，F(2，0)，则|MF|MN|的最小值为()A2 B6C2 3 D10,答案：B,解析：根据题意，设M(x，y)，则kMAkMB y x+4 y x4 y 2 x 2 16 3 4，即C：x 2 16+y 2 12 1(x4)，F(2，0)为C的左焦点，设C的右焦点为F(2，0)，则|MF|MF|8，从而|MF|MN|8|MF|MN|8|NF|8 12 2+3 2 6，当M，N，F共线，且N在线段MF上时取等号，故|MF|MN|的最小值为6.故选B.,类题通法抓住|PF1|与|PF2|之和为定值，可联系到利用基本不等式求|PF1|PF2|的最值；利用定义|PF1|PF2|2a转化或变形，借助三角形性质求最值,巩固训练32022辽宁沈阳模拟已知椭圆C：x 2 9+y 2 5 1的左焦点为F，点M在椭圆C上，点N在圆E：(x2)2y21上，则|MF|MN|的最小值为()A4 B5C7 D8,答案：B,解析：易知圆心E为椭圆的右焦点，且a3，b 5，c2，由椭圆的定义知：|MF|ME|2a6，所以|MF|6|ME|，所以|MF|MN|6|ME|MN|6(|ME|MN|)，要求|MF|MN|的最小值，只需求|ME|MN|的最大值，显然M，N，E三点共线时|ME|MN|取最大值，且最大值为1，所以|MF|MN|的最小值为615.故选B.,题型二椭圆的标准方程例4(1)2021江苏南京十三中月考已知椭圆过点P 3 5，4 和点Q 4 5，3，则此椭圆的标准方程是()Ax2 y 2 25 1Bx2 y 2 25 1或 x 2 25 y21C x 2 25 y21D以上都不对,答案：(1)A,解析：(1)设经过两点P 3 5，4 和点Q 4 5，3 的椭圆标准方程为mx2ny21(m0，n0，mn)，代入A、B得，9 25 m+16n=1 16 25 m+9n=1，解得 m=1，n=1 25，所求椭圆方程为x2 y 2 25 1.故选A.,(2)已知方程(k1)x2(9k)y21，若该方程表示椭圆方程，则k的取值范围是_,1k5或5k9,解析：(2)因为方程(k1)x2(9k)y21，所以 x 2 1 k1+y 2 1 9k 1，所以有 1 k1 0 1 9k 0 1 k1 1 9k，解得1k5或5k9.,(3)过点(3，5)，且与椭圆 y 2 25+x 2 9 1有相同的焦点的椭圆的标准方程为_,y 2 20+x 2 4 1,解析：(3)椭圆 y 2 25+x 2 9 1的焦点为(0，4)，则所求椭圆的c4，可设椭圆方程为 y 2 a 2+x 2 b 2 1(ab0)，则有a2b216，再代入点(3，5)，得，5 a 2+3 b 2 1，由解得，a220，b24.则所求椭圆方程为 y 2 20+x 2 4 1.,类题通法求椭圆方程的方法与步骤,巩固训练4(1)如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(5，0)为椭圆C的左焦点，P为椭圆C上一点，满足|OP|OF|且|PF|6，则椭圆C的方程为()A.x 2 36+y 2 16 1B x 2 40+y 2 15 1C x 2 49+y 2 24 1 D x 2 45+y 2 20 1,答案：(1)C,解析：(1)由题意可得c5，设右焦点为F，连接PF，由|OP|OF|OF|知，PFFFPO，OFPOPF，所以PFFOFPFPOOPF，所以FPOOPF90，即PFPF.在RtPFF中，由勾股定理，得|PF|FF 2 PF 2 10 2 6 2 8，由椭圆的定义，得|PF|PF|2a6814，则a7，a249，所以b2a2c2495224，所以椭圆C的方程为 x 2 49+y 2 24 1.故选C.,(2)2022福建上杭一中模拟已知椭圆C的焦点在x轴上，且离心率为 1 3，则椭圆C的标准方程可以为_,x 2 9+y 2 8 1,解析：(2)设椭圆方程为 x 2 a 2+y 2 b 2 1，由离心率为 1 3 可得 c a 1 3，由a2b2c2可得 b 2 a 2 8 9，可取a29，b28，则椭圆C的标准方程可以为 x 2 9+y 2 8 1.,(3)2022中国农业大学附属中学模拟已知F1，F2为椭圆C：x 2 a 2+y 2 b 2 1(ab0)的两个焦点，若P 1，3 2 在椭圆上，且满足|PF1|PF2|4，则椭圆C的方程为_,x 2 4+y 2 3 1,解析：(3)由|PF1|PF2|4得2a4，解得a2，又P 1，3 2 在椭圆C：x 2 a 2+y 2 b 2 1(ab0)上，所以 1 2 2 2+3 2 2 b 2 1，解得b 3，所以椭圆C的方程为 x 2 4+y 2 3 1.,题型三椭圆的简单几何性质角度1 椭圆的长轴、短轴、焦距例52022山东临沂模拟椭圆 x 2 25+y 2 9 1与 x 2 9k+y 2 25k 1(0k9)关系为()A有相等的长轴B有相等的短轴C有相等的焦点 D有相等的焦距,答案：D,解析：椭圆 x 2 25+y 2 9 1的长轴为10，短轴为6，焦距为8，焦点分别为(4，0)，(4，0)，椭圆 x 2 9k+y 2 25k 1(0k9)的长轴为2 25k，短轴为2 9k，焦距为8，焦点分别为(0，4)，(0，4)，所以两椭圆的焦距相同，故选D.,类题通法求解与椭圆几何性质有关的问题时，要理清顶点、焦点、长轴、短轴、焦距等基本量的内在联系,巩固训练52022浙江杭州模拟已知点A(3，0)，椭圆C：x 2 a 2+y 2 3 1(a0)的右焦点为F，若线段AF的中点恰好在椭圆C上，则椭圆C的长轴长为_,4,解析：由线段AF的中点恰好在椭圆C上，即为右顶点，可得3 a 2 3 2a，解得a2，所以椭圆C的长轴长为4.,角度2 求椭圆的离心率例6(1)2022河北保定模拟已知F1、F2是椭圆 x 2 a 2+y 2 b 2 1(ab0)的两个焦点，过F2的直线与椭圆交于A、B两点，若|AF1|AB|BF1|345，则该椭圆的离心率为()A 3 2 B2 3 C 3 1 2 D 2 2,答案：(1)D,解析：(1)如图所示，设|AF1|3t，则|AB|4t，|BF1|5t，所以，|AF1|2|AB|2|BF1|2，所以，F1AF290，由椭圆定义可得|AF1|AB|BF1|12t4a，t a 3，|AF1|3ta，所以，|AF2|2a|AF1|a，所以，AF1F2为等腰直角三角形，可得|AF1|2|AF2|2|F1F2|2，2a24c2，所以，该椭圆的离心率为e c a 2 2.故选D.,(2)设B是椭圆C：x 2 a 2+y 2 b 2 1(ab0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|2b，则C的离心率的取值范围是()A 2 2，1)B 1 2，1 C(0，2 2 D 0，1 2,答案：C,解析：(2)设P(x0，y0)，有B(0，b)，因为 0 2 2 0 2 2 1，a2b2c2，所以|PB|2 x 0 2(y0b)2 2 1 0 2 2 0 2 c 2 b 2 y 0+b 3 c 2 2 b 4 c 2 a2b2，因为by0b，当 b 3 c 2 b，即b2c2时，2 4b2，即 2，符合题意，由b2c2可得a22c2，即0b，即b2c2时，PB max 2 b 4 c 2 a2b2，即 b 4 c 2 a2b24b2，化简得，(c2b2)20，显然该不等式不成立故选C.,类题通法求椭圆离心率(或其范围)的两种常用方法,巩固训练6(1)椭圆 x 2 a 2+y 2 b 2 1(ab0)的右顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，若F到直线AB的距离为 b 2，则该椭圆的离心率为()A 6 3 B 6 2 4 C 4 6 5 D 5 2 6,答案：(1)C,解析：(1)直线AB方程 x a+y b 1，bxayab0，F(c，0)到直线的距离为d bcab a 2+b 2 b 2，c22aca2 1 4(a2b2)1 4(2a2c2)，e22e1 1 4(2e2)，5e28e20.0e1，e 4 6 5.故选C.,(2)2022湖北孝感模拟设椭圆C：x 2 a 2+y 2 b 2 1(ab0)的两个焦点分别为F1，F2，若在x轴上方的C上存在两个不同的点M，N满足F1MF2F1NF2 2 3，则椭圆C离心率的取值范围是()A(0，3 2 B 1 2，1 C(3 2，1)D(2 2，3 2),答案：C,解析：(2)如图，当点M在y上最大，若在x轴上方的C上存在两个不同的点M，N，满足F1MF2F1NF2 2 3，只需 c a sin 3 3 2，又0e1，所以e 3 2，1，故选C.,角度3 与椭圆几何性质有关的最值(范围)问题 例7如图焦点在x轴上的椭圆 x 2 4+y 2 b 2 1(b0)的离心率e 1 2，F，A分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任意一点，则 PF PA 的最大值为_,4,解析：由题意知a2，因为e c a 1 2，所以c1，b2a2c23，故椭圆方程为 x 2 4+y 2 3 1.设P的坐标为(x0，y0)所以2x02，3 y0 3.因为F(1，0)，A(2，0)，PF(1x0，y0)，PA(2x0，y0)，所以 PF PA 0 2 x02 0 2 1 4 x 0 2 x01 1 4(x02)2.则当x02时，PF PA 取得最大值，最大值为4.,类题通法与椭圆有关的最值或范围问题的求解策略,巩固训练7以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为()A1 B 2 C2 D2 2,答案：D,解析：设a，b，c分别为椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，依题意知，当三角形的高为b时面积最大，所以 1 2 2cb1，bc1，而2a2 b 2+c 2 2 2bc 2 2(当且仅当bc1时取等号)，故选D.,