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第二节同角三角函数的基本关系及诱导公式,必备知识基础落实,关键能力考点突破,微专题,必备知识基础落实,最新考纲1理解同角三角函数的基本关系式：sin2cos21，sin cos tan.2能利用单位圆中的三角函数线推导出 2，的正弦、余弦、正切的诱导公式,考向预测考情分析：同角三角函数基本关系式的应用和诱导公式的应用仍将是高考考查的热点，题型仍将是选择题与填空题学科素养：通过同角三角函数基本关系式及诱导公式的应用考查数学运算的核心素养,一、必记3个知识点1同角三角函数的基本关系(1)平方关系：_(2)商数关系：_,sin2cos21,tan,2三角函数的诱导公式,sin,sin,sin,cos,cos,cos,cos,cos,sin,sin,tan,tan,tan,3.特殊角的三角函数值,0,1,0,二、必明2个常用结论1诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指 2 的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化2sin cos，sin cos 与sin cos 的关系(sin cos)212sin cos；(sin cos)2(sin cos)22；(sin cos)2(sin cos)24 sin cos.对于sin cos，sin cos，sin cos 这三个式子，已知其中一个式子的值，可求其余两式的值,三、必练4类基础题(一)判断正误1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若，为锐角，则sin2cos21.()(2)若R，则tan sin cos 恒成立()(3)sin()sin 成立的条件是为锐角(),(二)教材改编2必修4P29B组T2改编已知为锐角，且sin 4 5，则cos()()A 3 5 B 3 5 C 4 5 D 4 5,答案：A,解析：因为为锐角，所以cos 1 sin 2 3 5，所以cos()cos 3 5.,3必修4P21练习T4改编化简：1 cos 2 2 cos2 tan 2 _,sin 2,解析：1 cos 2 2 cos2 tan 2 sin 2 2 cos2 sin 2 cos 2 sin 2.,(三)易错易混4(不会运用消元思想)已知tan 2，则 sin+cos sin sin2的值为()A 19 5 B 16 5 C 23 10 D 17 10,答案：C,解析：sin+cos sin sin2 sin+cos sin+sin 2 sin 2+cos 2 tan+1 tan+tan 2 tan 2+1，将tan2代入，得原式 23 10.,5(未注意角的范围出错)若sin 5 13，则tan _,或,解析：sin 5 13 0，为第三象限或第四象限角当为第三象限角时，cos 1 sin 2 12 13，tan sin cos 5 12.当为第四象限角时，cos 1 sin 2 12 13，tan sin cos 5 12.,(四)走进高考62019全国卷tan 255()A2 3 B2 3 C2 3 D2 3,答案：D,解析：tan 255tan(18075)tan 75tan(3045)tan 30+tan 45 1 tan 30 tan 45 3 3+1 1 3 3 2 3.,关键能力考点突破,考点一诱导公式的应用基础性1sin(1 200)cos 1 290_,解析：原式sin 1 200cos 1 290sin(3360120)cos(3360210)sin 120cos 210sin(18060)cos(18030)sin 60cos 30 3 2 3 2 3 4.,2若f(x)sin 2 x+1，且f(2 020)2，则f(2 022)_,0,解析：因为f(2 020)sin 2 2 020+1sin 1 010+1sin 12，所以sin 1.所以f(2 022)sin 2 2 022+1sin(1 011)1sin 10.,3已知f()cos 2+sin 3 2 cos tan，则f 25 3 的值为_,解析：因为f()cos 2+sin 3 2 cos tan sin cos cos sin cos cos，所以f 25 3 cos 25 3 cos 3 1 2.,4已知cos 6 a，则cos 5 6+sin 2 3 _,0,解析：由题意得cos 5 6+cos 6 cos 6 a，sin 2 3 sin 2+6 cos 6 a，所以cos 5 6+sin 2 3 aa0.,反思感悟1诱导公式应用的步骤(1)负化正：将负角的三角函数化为正角的三角函数；(2)大化小：将大于360的角的三角函数化为0360角的三角函数；(3)小化锐：将大于90的角的三角函数化为090角的三角函数；(4)锐求值：得到090角的三角函数后直接求值也就是：“负化正，大化小，化到锐角为终了”,2常见的互余和互补的角,考点二同角三角函数基本关系式的应用基础性、综合性角度1公式的直接应用例1(1)已知是第四象限角，且tan 3 4，则sin()A 3 5 B 3 5 C 4 5 D 4 5,解析：(1)因为tan sin cos 3 4，所以cos 4 3 sin，sin2cos21.由得sin2 9 25，又是第四象限角，所以sin0，则sin 3 5.,答案：A,(2)已知是三角形的内角，且tan 1 3，则sin cos 的值为_,解析：(2)由tan 1 3，得sin 1 3 cos，将其代入sin2cos21，得 10 9 cos21，所以cos2 9 10，易知cos0，所以cos 3 10 10，sin 10 10，故sin cos 10 5.,反思感悟同角三角函数关系式的应用方法(1)利用sin2cos21可实现的正弦、余弦的互化，利用 sin cos tan 可以实现角的弦切互化(2)由一个角的任意一个三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论.,角度2sin，cos 的齐次式问题例2已知 tan tan 1 1，求下列各式的值(1)sin 3 cos sin+cos；(2)sin2sincos 2.,解析：由 tan tan 1 1解得tan 1 2.(1)sin 3 cos sin+cos tan 3 tan+1 1 2 3 1 2+1 5 3.(2)sin2sincos 2 sin 2+sin cos sin 2+cos 2 2 tan 2+tan tan 2+1 2 1 2 2+1 2 1 2 2+1 2 13 5.,反思感悟三角函数式中“弦化切”常见形式及解决办法,角度3“sin cos，sin cos”之间的关系例3(1)2022成都七中实验学校高三模拟已知sin cos 3 3，则sin 2()A 6 3 B 2 3 C 6 3 D 2 3,答案：B,解析：(1)由题设知：(sin-cos)212sin cos 1sin 2 1 3，sin 2 2 3.,(2)2022辽宁高三模拟已知(0，)，且sin cos 1 5，则sin cos()A 7 5 B 7 5 C 7 5 D 49 25,答案：B,解析：(2)由sin cos 1 5 得(sin cos)2 1 25，化简得2sin cos 24 25 0，所以cos 0，所以sin cos sin cos 2 12 sin cos 1+24 25 7 5.,(3)2022河北张家口市模拟若 2，2sin cos 3 5 5，则tan()A2 B2 C 2 11 D 2 11,答案：A,解析：(3)(2sin cos)24sin2cos24sincos 4 sin 2+cos 2+4sin cos sin 2+cos 2 4 tan 2+1+4tan tan 2+1 9 5，所以11tan220tan40，解得tan 2或tan 2 11，又 2，所以tan 2.,反思感悟对于sin cos，sin cos，sin cos 这三个式子，知一可求二 若令sin cos t(t 2，2)，则sin cos t 2 1 2，sin cos 2 t 2(注意根据的范围选取正、负号)，体现了方程思想的应用.,【对点训练】12022上海格致中学高三模拟已知是第二象限角，且sin 3 5，tan _,3 4,解析：由是第二象限角，知cos 1 sin 2 1 3 5 2 4 5，则tan sin cos 3 4.,2已知tan 2，则sin2sincos 2cos2()A 4 3 B 5 4 C 3 4 D 4 5,答案：D,解析：sin2sincos 2cos2 sin 2+sin cos 2 cos 2 sin 2+cos 2 tan 2+tan2 tan 2+1 4+22 4+1 4 5.,3已知sincos 2，(0，)，则tan()A1 B 2 2 C 2 2 D1,答案：A,解析：方法一由 sincos=2 sin 2+cos 2=1 得2cos22 2 cos10，即(2 cos 1)20，所以cos 2 2.又(0，)，所以 3 4，所以tan tan 3 4 1.方法二因为sin cos 2，所以 2 sin 4 2，所以sin 4 1.因为(0，)，所以 3 4，所以tan 1.,考点三同角关系与诱导公式的综合应用综合性例4已知，为锐角，sin 2 5 5，sin()10 10.(1)求sin 2的值；,解析：(1)为锐角，sin 2 5 5，cos 1 sin 2 1 2 5 5 2 5 5，sin22sin cos 2 2 5 5 5 5 4 5.,(2)求tan()的值,解析：(2)，为锐角，0 2，0 2，2 0，2 2，sin()10 10 0，2 0，cos()1 sin 2 1 10 10 2 3 10 10，sinsin()sin cos()cos sin()2 5 5 3 10 10 5 5 10 10 7 2 10，cos 1 sin 2 1 7 2 10 2 2 10，tan sin cos 2 5 5 5 5 2，tan sin cos 7 2 10 2 10 7，tan()tan+tan 1 tan tan 2+7 127 9 13.,反思感悟利用诱导公式与同角关系求解综合问题的思路和要求,【对点训练】12022郸城县第一中学高三一模若cos(2)1 4，则cos _,解析：cos(2)cos 2 1 4，cos 2 1 4，2cos21 1 4，解得cos 6 4.,22022辽宁沈阳市一模已知2sin()3sin 2+，则sin2 1 2 sin2cos2()A 5 13 B 1 13 C 5 13 D 1 13,答案：B,解析：由2sin()3sin 2+，得2sin 3cos，所以tan 3 2，从而sin2 1 2 sin2cos2 sin 2 sin cos cos 2 sin 2+cos 2 tan 2 tan1 tan 2+1 1 13.,微专题15 三角函数式的化简与求值,数学运算能让学生进一步发展数学运算能力；能有效借助运算方法解决实际问题；能够通过运算促进数学思维发展，养成程序化思考问题的习惯；形成一丝不苟、严谨求实的科学精神,例2021湖北宜昌期末已知是第三象限角，且cos 10 10.(1)求tan 的值；(2)化简并求 cos 2 sin+sin 2+的值,解析：(1)因为是第三象限角，cos 10 10，所以sin 1 cos 2 3 10 10，所以tan sin cos 3.(2)由(1)知tan 3，所以原式 cos 2 sin+cos cos 2 sin cos 1 2 tan 1 1 231 1 5.,名师点评三角函数运算是重要的“数学运算”，在正确分析条件和所求的基础上明确运算的方向，灵活地选用三角函数公式，完成实际函数运算.,变式训练2022天津一中月考已知sin cos 1 3(0)，则cos4sin4的值为_,解析：将等式sincos 1 3 的两边平方，可得(sin cos)212sin cos 1 9，所以2sin cos 8 9，所以sin cos 4 9，所以cos4sin4(sin2cos2)22sin2cos212 4 9 2 49 81.,