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第二节空间几何体的表面积和体积,必备知识基础落实,关键能力考点突破,微专题,最新考纲了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式,考向预测考情分析：高考常以三视图为载体，主要考查柱、锥、球的表面积和体积，以选择题、填空题的形式出现，属于容易题学科素养：通过空间几何体的表面积与体积的计算考查直观想象、数学运算的核心素养,必备知识基础落实,一、必记2个知识点1圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式,2rl,rl,(rr)l,2.空间几何体的表面积与体积公式,Sh,Sh,4R2,R3,二、必明3个常用结论1正方体的棱长为a，球的半径为R，若球为正方体的外接球，则2R 3 a；若球为正方体的内切球，则2Ra；若球与正方体的各棱相切，则2R 2 a.2长方体的共顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R a 2+b 2+c 2.3正四面体的外接球与内切球的半径之比为31.,三、必练4类基础题(一)判断正误1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2S.()(2)锥体的体积等于底面面积与高之积()(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差()(4)球的体积之比等于半径之比的平方(),(二)教材改编2必修2P27练习T1改编已知圆锥的表面积等于12 cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为_cm.,2,解析：设底面半径为r，由侧面展开图为半圆可知，圆锥母线长l2r，所以S表r2rlr2r2r3r212，所以r24，所以r2.,3.必修2P29习题B组T1改编某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于_，表面积等于_,6,1210,解析：如图，由三视图可知该几何体是底面半径为2，高为3的圆柱的一半，故该几何体的体积为 1 2 2236，表面积为2 1 2 2243231012.,(三)易错易混4(长度单位与体积单位的换算出错)九章算术商功章有题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺3 1 3 寸，容纳米2 000斛(1丈10尺，1尺10寸，斛为容积单位，1斛1.62立方尺，3)，则圆柱底面圆的周长约为()A.1丈3尺 B5丈4尺C.9丈2尺 D48丈6尺,答案：B,解析：设圆柱底面圆半径为r，高为h，依题意，圆柱体积为Vr2h，即2 0001.623r213.33，所以r281，即r9尺，所以圆柱底面圆周长为2r54尺，即圆柱底面圆周长约为5丈4尺,5(不会分类讨论致误)圆柱的侧面展开图是边长为6和4的矩形，则圆柱的表面积为_,2428或24218,解析：圆柱的侧面积S侧64242.以边长为6的边为轴时，4为圆柱底面圆周长，所以2r4，即r2.所以S底4，所以S表2428.以4所在边为轴时，6为圆柱底面圆周长，所以2r6，即r3，所以S底9，所以S表24218.,(四)走进高考62021全国甲卷已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30，则该圆锥的侧面积为_,39,解析：设该圆锥的高为h，则由已知条件可得 1 3 62h30，解得h 5 2，则圆锥的母线长为 h 2+6 2 25 4+36 13 2，故该圆锥的侧面积为6 13 2 39.,关键能力考点突破,考点一空间几何体的侧面积和表面积基础性、综合性例1(1)2022云南省部分学校统一检测九章算术中将底面为矩形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”已知某“阳马”和某“堑堵”的组合体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A2812 2 B2412 2 C2612 2 D1224 2,答案：B,解析：(1)由该几何体的三视图可知，该几何体的直观图如图所示，“堑堵”的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，高为4，“阳马”的底面是边长为2的正方形，高为2，所以该几何体的表面积分两部分，“堑堵”部分的表面积S堑堵 1 2 2222 2 42424 1 2 22188 2，“阳马”部分的表面积，S阳马22 1 2 22 1 2 22 2+1 2 22 2 64 2，所以该几何体的表面积为S堑堵S阳马188 2 64 2 2412 2.,(2)2022河南周口模拟如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBC，AA1AC2，直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为30，则该三棱柱的侧面积为()A44 2 B44 3 C12 D84 2,答案：A,解析：(2)连接A1B.因为AA1底面ABC，则AA1BC，又ABBC，AA1ABA，所以BC平面AA1B1B，所以直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为CA1B30.又AA1AC2，所以A1C2 2，BC 2.又ABBC，则AB 2，则该三棱柱的侧面积为2 2 22244 2.,反思感悟三类几何体表面积的求法,【对点训练】12020全国卷如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是()A.64 2 B44 2 C.62 3 D42 3,答案：C,解析：在正方体中还原几何体如图几何体为正方体的一部分：三棱锥P-ABC，S表面积SPACSPABSPBCSBAC 1 2 2 2 2 2 3 2+1 2 22 1 2 22 1 2 222 3 6.,22022山西高三模拟现有一个橡皮泥制作的圆柱，其底面半径、高均为2，将它重新制作成一个体积与高不变的圆锥，则该圆锥的侧面积为()A.6 3 B8 3 C.8 D4 2,答案：B,解析：根据题意，圆柱的体积为V2228，设圆锥的底面半径为r，则V锥 1 3 r228，解得r2 3，所以圆锥的母线长为l r 2+4 4，所以该圆锥的侧面积为Srl8 3.,32022福建厦门市高三模拟2008年北京奥运会游泳中心(水立方)的设计灵感来于威尔弗兰泡沫，威尔弗兰泡沫是对开尔文胞体的改进，开尔文体是一种多面体，它由正六边形和正方形围成(其中每一个顶点处有一个正方形和两个正六边形)，已知该多面体共有24个顶点，且棱长为1，则该多面体表面积是()A.9 3 6 B9 3 8C.12 3 6 D12 3 8,答案：C,解析：棱长为1的正方形的面积为111，正六边形的面积为6 1 2 11 3 2 3 3 2，又正方形有4个顶点，正六边形有6个顶点，该多面体共有24个顶点，所以最多有6个正方形，最少有4个正六边形，1个正六边形与3个正方形相连，所以该多面体有6个正方形，正六边形有6438个，所以该多面体的表面积为8 3 3 2 612 3 6.,考点二空间几何体的体积综合性角度1公式法求体积例2正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为()A.2012 3 B28 2 C.56 3 D 28 2 3,答案：D,解析：作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，所以该棱台的高h 2 2 2 2 2 2 2，下底面面积S116，上底面面积S24，所以该棱台的体积V 1 3 h(S1S2 S 1 S 2)1 3 2(164 64)28 2 3.,角度2割补法求体积例3在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为4 cm，母线长最短5 cm，最长8 cm，则斜截圆柱的体积V_ cm3.,26,解析：方法一(分割法)将斜截圆柱分割成两部分：下面是底面半径为2 cm，高为5 cm的圆柱，其体积V122520(cm3)；上面是底面半径为2 cm，高为853(cm)的圆柱的一半，其体积V2 1 2 2236(cm3)该组合体的体积VV1V220626(cm3)方法二(补形法)在该几何体上方再补上一个与其相同的几何体，让截面重合，则所得几何体为一个圆柱，该圆柱的底面半径为2 cm.高为8513(cm)，该圆柱的体积V1221352(cm3)该几何体的体积为圆柱体积的一半，即V 1 2 V126(cm3),一题多变(变问题)若例3中条件不变，求斜截圆柱的侧面面积S_cm2.,26,解析：将题图所示的相同的两个几何体对接为圆柱，则圆柱的侧面展开图为矩形由题意得所求侧面展开图的面积S 1 2(58)(4)26(cm2),角度3等体积法求体积例4如图所示，已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1底面ABC，则三棱锥B1-ABC1的体积为()A.3 12 B 3 4 C.6 12 D 6 4,答案：A,解析：易知三棱锥B1-ABC1的体积等于三棱锥A-B1BC1的体积，又三棱锥A-B1BC1的高为 3 2，底面积为 1 2，故其体积为 1 3 1 2 3 2 3 12.,反思感悟(1)处理体积问题的思路,(2)求体积的常用方法直接法：对于规则的几何体，利用相关公式直接计算割补法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算等体积法：选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面作为三棱锥的底面进行等体积变换,【对点训练】1如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形点E是棱BB1的中点，点F是棱CC1上靠近C1的三等分点，且三棱锥A1-AEF的体积为2，则四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积为()A.12B8C20D18,答案：A,解析：设点F到平面ABB1A1的距离为h，因为VA-1AEFVF-A1AE 1 3 S A 1 AE h 1 3 1 2 AA 1 AB h 1 6(AA1AB)h 1 6 S四边形ABB1A1h 1 6 V ABCD A 1 B 1 C 1 D 1，所以 V ABCD A 1 B 1 C 1 D 1 6VA-1AEF6212.所以四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积为12.,2图1是一种生活中常见的容器，其结构如图2所示，其中ABCD是矩形，ABFE和CDEF都是等腰梯形，且AD平面CDEF.现测得AB20 cm，AD15 cm，EF30 cm，AB与EF间的距离为25 cm，则几何体EF-ABCD的体积为()A.2 500 cm3 B3 500 cm3C.4 500 cm3 D3 800 cm3,答案：B,解析：如图，连接AC，EC，AF.ABCD是矩形，ABCD.过点D作DGEF，垂足为G，连接AG，则AGEF.由题意知，AG25 cm.AD平面CDEF，ADDG.AD15 cm，DC与EF间的距离DG 25 2 15 2 20(cm).EF30 cm，ABDC20 cm，SECD 1 2 2020200(cm2)，SEFC 1 2 3020300(cm2)VA-EDC 1 3 200151 000(cm3)，VA-EFC 1 3 300151 500(cm3)VB-AFCVCAFB 2 3 V CAEF 2 3 VA-CEF 2 3 1 5001 000(cm3)，几何体EF-ABCD的体积VEF-ABCDVA-DCEVA-EFCVB-AFC1 0001 5001 0003 500(cm3),考点三空间几何体的外接球与内切球创新性角度1几何体的外接球例5(1)2022天津市武清区检测九章算术中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑若三棱锥P-ABC为鳖臑，PA平面ABC，PAAB2，AC4，三棱锥PABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为()A.12B20C24D32,答案：B,解析：(1)将三棱锥P-ABC放在一个长方体中，如图示：则三棱锥P-ABC的外接球就是一个长方体的外接球，因为PAAB2，AC4，ABC为直角三角形，所以BC AC 2 AB 2 4 2 2 2 2 3.设长方体的外接球的半径为R，则(2R)2441220，故R25.所以外接球的表面积为S4R220.,(2)2022天津高三模拟长方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点在同一球面上，且AB2，AD 3，AA11，则球面面积为()A.8 3 B 4 3 C4 D8,答案：D,解析：(2)因为长方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点在同一个球面上，所以球的直径等于长方体的对角线长，设球的半径为R，因为AB2，AD 3，AA11，所以4R222(3)2128，球的表面积为4R28.,反思感悟处理球的“接”问题的策略把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径,例6(1)2022成都市高三模拟九章算术中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，若三棱锥P-ABC为鳖臑，PA平面ABC，PABC4，AB3，ABBC，若三棱锥P-ABC有一个内切球O，则球O的体积为()A.9 2 B 9 4 C 9 16 D9,答案：(1)C,解析：(1)因PA平面ABC，则PABC，而ABBC，PAABA，于是得BC平面PAB，PBBC，而PAAB，PAAC，又PABC4，AB3，则有AC AB 2+BC 2 5，PB AB 2+PA 2 5，三棱锥PABC的表面积为SSPABSCABSPBCSPAC 1 2(PAABABBCPBBCPAAC)32，连接OA，OB，OC，OP，如图：三棱锥P-ABC被分割为四个三棱锥O-PAB，O-ABC，O-PBC，O-PAC，它们的高均为球O的半径r，VP-ABCVO-PABVO-ABCVO-PBCVO-PAC 1 3 r(SPABSCABSPBCSPAC)32r 3，而VP-ABC 1 3 PASABC 1 3 4 1 2 348，则 32r 3 8，得r 3 4，所以球O的体积为V 4 3 r3 4 3 3 4 3 9 16.,(2)2022江苏南京高三模拟已知直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为等边三角形，若该棱柱存在外接球与内切球，则其外接球与内切球表面积之比为()A.251 B2 5 1C.51 D 5 1,答案：C,解析：(2)设正三棱柱底面正三角形的边长为a，当球内切于正三棱柱时，球的半径R1等于正三棱柱的底面正三角形的内切圆半径，所以R1 3 6 a，故正三棱柱的高为2 3 6 a 3 3 a，当球外接于正三棱柱时，设球的半径为R2，则球心是上下底面中心连接线段的中点，如图所示：因为OO1R1 3 6 a，CO1 1 2 a sin 60 3 3 a，所以OC2 2 2 1 2 3 3 2 5 12 a2，外接球与内切球表面积之比为 4 2 2 4 1 2 4 5 12 a 2 4 3 6 a 2 51.,一题多变(变条件，变问题)若例6(1)中“若三棱锥P-ABC有一个内切球O，”改为“若三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上，”则球O的表面积为_,41,解析：将三棱锥P-ABC放在一个长方体中，则三棱锥P-ABC的外接球就是一个长方体的外接球，因为PABC4，AB3，ABBC.设长方体的外接球的半径为R，则(2R)21616941，故R2 41 4.所以外接球的表面积S4R241.,反思感悟(1)处理球的“切”问题的策略，解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作(2)解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的思维流程是：,【对点训练】12022河北衡水市检测已知正三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直，且侧棱长为 2，则此三棱锥的外接球的表面积为()A.B3 C6 D9,答案：C,解析：正三棱锥的外接球即是棱长为 2 的正方体的外接球，所以外接球的直径2R 2 2+2 2+2 2 6，所以4R26，外接球的表面积4R26.,22022沙坪坝区测试在三棱锥P-ABC中，PAPBPC 5，ABACBC 3，则三棱锥P-ABC外接球的表面积是()A.9 B 15 2 C.4 D 25 4,答案：D,解析：由已知P-ABC是正三棱锥，设PH是正棱锥的高，由外接球球心O在PH上，如图，设外接球半径为R，又CH 3 3 3 1，则PH PC 2 CH 2 2，由OC2OH2CH2得R2(2R)212，解得R 5 4，所以表面积为S4 5 4 2 25 4.,3已知在三棱锥A-BCD中，ABCD2，ADACBCBD3，则该三棱锥内切球的体积为()A.7 14 64 B 11 11 6 C.11 11 3 D 7 14 192,答案：D,解析：如图，将三棱锥A-BCD放入长方体AEBF-HCGD中，设HCa，CGb，CEc，则a2b222，a2c232，b2c232，所以ab 2，c 7，则三棱锥A-BCD的体积VA-BCD 1 3 abc 2 7 3，SABCSBCDSABDSACD2 2，设三棱锥A-BCD内切球的半径为r，则球心到三棱锥A-BCD四个面的距离都为r，设三棱锥A-BCD的表面积为S，则VABCD 1 3 Sr 1 3 8 2 r 2 7 3，因此r 14 8，所以三棱锥A-BCD内切球的体积V 4 3 r3 7 14 192.,微专题28 数学文化与立体几何的交汇,纵观近几年高考，立体几何以数学文化为背景的问题层出不穷，让人耳目一新从中国古代数学文化中挖掘素材，考查立体几何的有关知识，既符合考生的认知水平又可以引导考生关注中华优秀传统文化，并提升审题能力，增加对数学文化的理解，发展数学核心素养,例2022四川眉山市高三模拟中国古代数学家刘徽所注释的九章算术中，称四个面均为直角三角形的四面体为“鳖臑”如图所示的鳖臑A-BCD中，AB平面BCD，CDBC，若CD1，AC 5，且顶点A，B，C，D均在球O上，则球O的表面积为_,6,解析：由题意可知：球O为鳖臑A-BCD的外接球，AB平面BCD，BD，CD平面BCD，ABBD，ABCD，又CDBC，AB，BC平面ABC，ABBCB，CD平面ABC，又AC平面ABC，CDAC；取AD中点E，连接BE，CE，ABBC，BEAEDE，同理可知：CEAEDE，点E与球O的球心O重合，球O的半径R 1 2 AD 1 2 AC 2+CD 2 6 2，球O的表面积S4R26.,名师点评求解与数学文化有关的立体几何问题，首先要在阅读理解上下功夫，明确其中一些概念的意义，如“堑堵”“阳马”和“鳖臑”等的特征是求解相关问题的前提，其次目标要明确，根据目标联想相关公式，然后进行求解,变式训练2022安徽高三测试九章算术是中国古代的数学专著，在卷五商功中有一问题：今有沟，上广一丈五尺，下广一丈，深五尺，袤七丈问积几何？答曰：四千三百七十五尺意思是说现在有一条水沟，截面是梯形，梯形上底长一丈五尺，下底长一丈，水沟的深为五尺，长七丈问水沟的容积是多大？答案是4 375立方尺若此沟两坡面坡度相同，某人想给此沟表面铺上水泥进行固定，不计水泥厚度，则需要水泥多少平方尺？(一丈等于十尺)()A4 375 B1 875350 5 C1 750350 5 D700350 5,答案：D,解析：依题意，该沟是一个底面是梯形的直四棱柱，底面梯形的上底长一丈五尺，下底长一丈，高5尺，棱柱的高为70尺，因为该沟两边坡面坡角相等，所以坡面宽为 5 2+5 2 2 5 5 2，所以此沟表面为三个矩形的面积，矩形的长为70尺，宽分别为10尺，5 5 2 尺，5 5 2 尺，所以面积共计为700350 5 平方尺,