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第一节数系的扩充与复数的引入,必备知识基础落实,关键能力考点突破,最新考纲1理解复数的基本概念2理解复数相等的充要条件3了解复数的代数表示及其几何意义4能进行复数代数形式的四则运算5了解复数代数形式的加、减运算的几何意义,考向预测考情分析：复数的基本概念(复数的实部、虚部、共轭复数、复数的模等)，复数相等的充要条件，复数的代数形式的四则运算仍是高考考查的热点，题型仍将是选择题与填空题学科素养：通过复数的概念、运算及其几何意义考查数学运算的核心素养,必备知识基础落实,一、必记3个知识点1复数的有关概念(1)复数的概念形如abi(a，bR)的数叫做复数，其中a，b分别是它的_和_若_，则abi为实数，若_，则abi为虚数，若_，则abi为纯虚数(2)复数相等：abicdi_(a，b，c，dR)(3)共轭复数：abi与cdi共轭_(a，b，c，dR),实部,虚部,b0,b0,a0且b0,ac且bd,=，=,(4)复平面建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面_叫做实轴，_叫做虚轴实轴上的点都表示_；虚轴上的点都表示_；各象限内的点都表示_复数集C和复平面内的_组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以_为起点的向量组成的集合也是一一对应的(5)复数的模向量 OZ 的模r叫做复数zabi的模，记作|z|或|abi|，即|z|abi|_,x轴,y轴除去原点,实数,纯虚数,实部不为0的虚数,点,原点,+,2复数的几何意义,3复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则加法：z1z2(abi)(cdi)_减法：z1z2(abi)(cdi)_乘法：z1z2(abi)(cdi)_除法：z 1 z 2 a+bi c+di a+bi cdi c+di cdi _(cdi0)(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3C，有z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3),(ac)(bd)i,(ac)(bd)i,(acbd)(adbc)i,+,二、必明3个常用结论1(1i)22i；1+i 1i i；1i 1+i i；2baii(abi)；3i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i，i4ni4n1i4n2i4n30，nN*.,三、必练4类基础题(一)判断正误1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)方程x2x10没有解()(2)复数zabi(a，bR)中，虚部为bi.()(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小，如43i33i，34i33i等()(4)原点是实轴与虚轴的交点()(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模()(6)复数z12i的共轭复数对应点在第四象限(),(二)教材改编2选修22P103例题改编已知z(m1)(m1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是()A(1，1)B(1，3)C(1，)D(，1),答案：A,解析：要使复数z对应的点在第四象限，应满足 m+10 m10，解得1m1.,3选修22P116复习参考题A组T1(2)改编复数z 2+i 1i(i为虚数单位)的共轭复数是_,i,解析：因为z 2+i 1i 2+i 1+i 1i 1+i 1+3i 2 1 2+3 2 i，所以，其共轭复数为 1 2 3 2 i.,(三)易错易混4(对复数的虚部认识不清)已知复数z1满足(2i)z162i，z1与z2m2ni(m，nR)互为共轭复数，则z1的虚部为_，mn_,2,3,解析：由(2i)z162i，得z1 6+2i 2i 6+2i 2+i 2i 2+i 10+10i 5 22i，则z222i，则m2，n1，所以mn3.,5(复数的几何意义出错)如图所示，在复平面内，复数z1和z2对应的点分别是A和B，则 z 2 z 1 _,i,解析：由题图得：z12i，z2i，所以 z 2 z 1 i 2i i 2+i 2i 2+i 2i1 5 1 5 2 5 i.,(四)走进高考62021全国卷若z1i，则|z22z|()A0B1C 2 D2,答案：D,解析：z1i，|z22z|(1i)22(1i)|2i2i2|2|2.,关键能力考点突破,考点一复数的有关概念基础性1若复数z满足zi35i，则z的虚部为()A3B3C5D5,答案：A,解析：由复数的运算法则，可得z 35i i 3i+5 i 2 i i 53i，所以复数z的虚部为3.,22022广东深圳市高三质量评估若复数z 1+i a+i i为纯虚数，则实数a的值为()A1 B 1 2 C0 D1,答案：A,解析：化简原式可得：z 1+i a+i i 1+i ai a 2+1 i a+1+a a 2 2 i a 2+1.z为纯虚数时，a+1 a 2+1 0，aa220即 a1.,3已知z为复数，i为虚数单位若复数 zi z+i 为纯虚数，则|z|()A2 B 2 C1 D 2 2,答案：C,解析：设zabi(a，bR)，所以复数 zi z+i a+b1 i a+b+1 i a+b1 i a b+1 i a 2+b+1 2 a 2+b 2 12ai a 2+b+1 2.因为复数 zi z+i 为纯虚数，所以a2b21，a0.所以|z|a 2+b 2 1.,反思感悟求解与复数概念相关问题的技巧复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即abi(a，bR)的形式，再根据题意列方程(组)求解,考点二复数的代数运算基础性 例1(1)2021北京卷在复平面内，复数z满足(1i)z2，则z()A2iB2i C1iD1i,答案：(1)D,解析：(1)由题意可得：z 2 1i 2 1+i 1i 1+i 2 1+i 2 1i.,(2)2021全国乙卷设2(z z)3(z z)46i，则z()A12i B12i C1i D1i,答案：(2)C,解析：(2)设zabi，则 z abi，则2(z z)3(z z)4a6bi46i，所以，4a=4 6b=6，解得ab1，因此，z1i.,(3)2021全国甲卷已知(1i)2z32i，则z()A1 3 2 i B1 3 2 iC 3 2 i D 3 2 i,答案：(3)B,解析：(3)(1i)2z2iz32i，z 3+2i 2i 3+2i i 2ii 2+3i 2 1 3 2 i.,反思感悟复数代数形式运算问题的解题策略,【对点训练】1设复数z满足 1+2z 1z i，则z()A.1 5+3 5 i B 1 5 3 5 iC.1 5+3 5 i D 1 5 3 5 i,答案：C,解析：由 1+2z 1z i得12ziiz，所以z 1+i 2+i 1+i 2i 2+i 2i 1 5+3 5 i.,2若复数z满足z(12i)(1i)2(i为虚数单位)，则|z i2 021|()A.4 5 B 65 5 C 3 5 D1,答案：D,解析：由z(12i)(1i)2得复数z 1+i 2 1+2i 2i 12i 5 4+2i 5，z 42i 5.z i2 021 42i 5 i 4+3i 5，|zi2 021|4+3i 5 4 5 2+3 5 2 1.,32022浙江省舟山中学高三月考若z2i，则|z|_，2i z z i _,+,解析：因为z2i，所以|z|2 2+1 2 5；2i z z i 2i 2+i 2i i 2i 5i 2i 5+i 5i 5+i 2+10i 26 1+5i 13.,考点三复数的几何意义基础性、应用性 例2(1)复数 2i 13i 在复平面内对应的点所在的象限为()A.第一象限 B第二象限C.第三象限 D第四象限,答案：(1)A,解析：(1)2i 13i 2i 1+3i 10 5+5i 10 1+i 2，所以该复数对应的点为 1 2，1 2，该点在第一象限,(2)2022开封市模拟考试在复平面内，复数 a+i 1+i 对应的点位于直线yx的左上方，则实数a的取值范围是()A.(，0)B(，1)C.(0，)D(1，),答案：A,解析：(2)因为 a+i 1+i a+i 1i 1+i 1i a+1+1a i 2，复数 a+i 1+i 对应的点在直线yx的左上方，所以1aa1，解得a0.故实数a的取值范围是(，0),反思感悟复数几何意义及应用(1)复数z、复平面上的点Z及向量 OZ 相互联系，即zabi(a，bR)Z(a，b)OZ(a，b)(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观提醒|z|的几何意义：令zxyi(x，yR)，则|z|x 2+y 2，由此可知表示复数z的点到原点的距离就是|z|的几何意义；|z1z2|的几何意义是复平面内表示复数z1，z2的两点之间的距离,【对点训练】12022重庆市高三月考在复平面内，复数 2i 1i 对应的点的坐标为()A.(1，1)B(1，1)C.(1，i)D(i，1),答案：A,解析：由 2i 1i 2i 1+i 1i 1+i 2i+2 i 2 2 1i，则复数 2i 1i 对应的点的坐标是(1，1),22022合肥市教学质量检测设复数z满足|z1|zi|(i为虚数单位)，z在复平面内对应的点为(x，y)，则()A.yxB.yxC.(x1)2(y1)21D.(x1)2(y1)21,答案：B,解析：z在复平面内对应的点为(x，y)，则zxyi(x，yR)，又|z1|zi|，所以(x1)2y2x2(y1)2，所以yx.,