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第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,必备知识基础落实,关键能力考点突破,考向预测考情分析：主要考查利用线性规划知识求目标函数的最值、取值范围、参数的取值(范围)以及实际应用，目标函数大多是线性的，偶尔也会出现斜率型和距离型的目标函数，此部分内容仍是高考的热点，主要以选择题和填空题的形式出现学科素养：通过线性规划在求最值中的应用问题考查直观想象、数学运算的核心素养,考向预测考情分析：以基本初等函数为载体，考查函数的表示法、定义域，分段函数以及函数与其他知识的综合仍是高考的热点，题型既有选择、填空题，又有解答题，中等偏上难度学科素养：通过函数概念考查数学抽象的核心素养；通常通过函数定义域、函数解析式及分段函数问题考查数学运算及直观想象的核心素养,必备知识基础落实,一、必记3个知识点1二元一次不等式(组)表示的平面区域,边界直线,边界直线,公共部分,2.二元一次不等式(组)的解集满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的_，叫做二元一次不等式(组)的解，所有这样的_构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集,有序数对(x，y),有序数对(x，y),3线性规划中的基本概念,不等式(组),一次,一次,(x，y),集合,最大值,最小值,最大值,最小值,二、必明2个常用结论1画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0，1)或(1，0)来验证2判断二元一次不等式表示的区域(1)若B(AxByC)0时，区域为直线AxByC0的上方；(2)当B(AxByC)0时，区域为直线AxByC0的下方,三、必练4类基础题(一)判断正误1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集()(2)不等式AxByC0表示的平面区域一定在直线AxByC0的上方()(3)点(x1，y1)，(x2，y2)在直线AxByC0同侧的充要条件是(Ax1By1C)(Ax2By2C)0，异侧的充要条件是(Ax1By1C)(Ax2By2C)0.()(4)目标函数zaxby(b0)中，z的几何意义是直线axbyz0在y轴上的截距(),(二)教材改编2必修5P86练习T3改编不等式组 x3y+60，xy+20 表示的平面区域是(),答案：C,解析：x3y60表示直线x3y60左上方部分，xy20表示直线xy20及其右下方部分故不等式组表示的平面区域为选项C所示部分,3必修5P91练习T1(1)改编若变量x，y满足 2xy0，x+y40，y0，则x2y的最大值为_,4,解析：不等式组 2xy0 x+y40 y0 表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线x2y0并平移，当经过A(4，0)时，(x2y)max4204.,(三)易错易混4(目标函数的几何意义不清)已知 x1，xy+10，2xy20，则x2y2的最小值是_,5,解析：作出 x1，xy+10，2xy20 表示的可行域，如图中阴影部分所示，易求得点A(1，2)，B(3，4)x2y2的几何意义为可行域内的点到原点O的距离的平方由图知，可行域内的点A到原点的距离最小，所以x2y2的最小值是12225.,5(最优解个数无数理解不透)已知实数x，y满足不等式组 y0，yx+10，y2x+40.若zyax取得最大值时的最优解有无数个，则a的值为_,1,解析：依题意，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域，如图所示要使zyax取得最大值时的最优解(x，y)有无数个，则直线zyax必平行于直线yx10，于是有a1.,(四)走进高考62021全国乙卷若x，y满足约束条件 x+y4，xy2，y3，则z3xy的最小值为()A18 B10C6 D4,答案：C,解析：作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线y3x，并平移，数形结合可知，当平移后的直线经过点A时，直线y3xz在y轴上的截距最小，即z最小解方程组 x+y=4 y=3 得 x=1 y=3，即点A的坐标为(1，3)从而z3xy的最小值为3136.故选C.,关键能力考点突破,考点一二元一次不等式(组)表示的平面区域基础性1在平面直角坐标系中，不等式组 xy0，x+y10，y0 表示的平面区域的面积是()A1B 1 2 C 1 4 D 1 8,答案：C,解析：作可行域如图中等腰直角三角形OAB所示，由 xy=0，x+y1=0，得 x=1 2，y=1 2，即B 1 2，1 2，且A(1，0)所以其面积为 1 2 1 2 1 1 4，故选C.,2若不等式组 xy0，2x+y2，y0，x+ya 表示的平面区域的形状是三角形，则a的取值范围是()Aa 4 3 B0a1C1a 4 3 D0a1或a 4 3,答案：D,解析：作出不等式组 xy0，2x+y2，y0 表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示且作l1：xy0，l2：xy1，l3：xy 4 3.由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需动直线l：xya在l1，l2之间(包含l2，不包含l1)或l3上方(包含l3)即a的取值范围是0a1或a 4 3.,3已知由不等式组 x0，y0，ykx2，yx40 确定的平面区域的面积为7，则k的值为()A3 B1C3 D1,答案：B,解析：作出不等式组 x0，y0，yx40 所表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示，可知该区域是等腰直角三角形且面积为8.由于直线ykx2恒过点B(0，2)，且原点的坐标恒满足ykx2，,当k0时，y2，此时平面区域的面积为6，由于67，由此可得k0.由 ykx=2，yx4=0，可得D 2 k1，4k2 k1，依题意应有 1 2 2 2 k1 1，解得k1或k3(舍去)，故选B.,反思感悟二元一次不等式(组)表示的平面区域的确定方法(1)线定界：二元一次不等式AxByC0在平面直角坐标系中表示直线AxByC0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)，不含边界直线；(2)点定域：在直线AxByC0的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，代入不等式检验，若满足不等式，则包含此点的半平面为不等式所表示的平面区域，否则为另一侧所表示的平面区域；(3)交定区：若平面区域是由不等式组决定的，则在确定了各个不等式所表示的区域后，求这些区域的公共部分，这个公共部分即为所求,考点二求目标函数的最值问题综合性角度1求线性目标函数的最值例1(1)设实数x，y满足不等式组 xy+10，x2y10，x+y10，则2xy的取值范围为()A4，2 B1，2C1，)D2，),答案：C,解析：(1)如图，画出可行域(如图，阴影部分含边界)，令z2xy，y2xz.当z0时，画出初始目标函数表示的直线y2x，当直线平移至点A(0，1)时，z2xy取得最小值zmin2011，根据可行域可知，无最大值，所以2xy的取值范围是1，),(2)2021浙江卷若实数x，y满足约束条件 x+10，xy0，2x+3y10，则zx 1 2 y的最小值是()A2 B 3 2 C 1 2 D 1 10,答案：B,解析：(2)画出满足约束条件 x+10，xy0，2x+3y10 的可行域，如下图所示：目标函数zx 1 2 y化为y2x2z，由 x=1，2x+3y1=0，解得 x=1，y=1，设A(1，1)，当直线y2x2z过A点时，zx 1 2 y取得最小值为 3 2.,反思感悟1求目标函数的最值形如zaxby(b0)的目标函数，可变形为斜截式y a b x z b(b0)(1)若b0，当直线过可行域且在y轴上的截距最大时，z值最大，在y轴上的截距最小时，z值最小；(2)若b0，当直线过可行域且在y轴上的截距最大时，z值最小，在y轴上的截距最小时，z值最大,2求目标函数最优解的常用方法如果可行域是一个多边形，那么一般在某顶点处使目标函数取得最优解，到底哪个顶点为最优解，可有两种方法判断：(1)将可行域各顶点的坐标代入目标函数，通过比较各顶点函数值大小即可求得最优解；(2)将目标函数的直线平移，最先通过或最后通过的顶点便是最优解,角度2求非线性目标函数的最值例2变量x，y满足 x4y+30，3x+5y250，x1，(1)设z y x，求z的取值范围；(2)设zx2y2，求z的取值范围,解析：由约束条件 x4y+30，3x+5y250，x1，作出可行域如图所示由 x=1，3x+5y25=0，解得A 1，22 5.由 x=1，x4y+3=0，解得C(1，1)由 x4y+3=0，3x+5y25=0，解得B(5，2),(1)因为z y x y0 x0，所以z的值是可行域中的点与原点O连线的斜率观察图形可知zminkOB 2 5，zmaxkOA 22 5.所以z的取值范围为 2 5，22 5.(2)zx2y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin|OC|2，dmax|OB|29.所以z的取值范围为2，29.,一题多变1(变问题)若例2中条件不变，将“zx2y2”改为“zx2y26x4y13”，如何求解？,解析：满足约束条件的可行域及各点坐标同本例zx2y26x4y13(x3)2(y2)2的几何意义是可行域上的点到点(3，2)的距离的平方结合图形可知，可行域上的点到(3，2)的距离中，dmin1(3)4，dmax 35 2+22 2 8.所以z的取值范围为16，64.,2(变问题)若例2中条件不变，将“z y x”改为“z|xy|”，如何求解？,解析：满足约束条件的可行域及各点坐标同本例z|xy|2 x+y 2 的几何意义是可行域上的点到直线xy0的距离的 2 倍结合图形可知，可行域上点C(1，1)到直线xy0的距离最小，可行域上点B(5，2)到直线xy0的距离最大，所以zmax 2 5+2 2 7，zmin 2 1+1 2 2.所以z的取值范围为2，7.,反思感悟求解非线性规划问题的基本方法是利用目标函数的几何意义求解常见非线性目标函数类型及其几何意义(1)x 2+y 2 表示点(x，y)与原点(0，0)的距离；xa 2+yb 2 表示点(x，y)与点(a，b)的距离(2)y x 表示点(x，y)与原点(0，0)连线的斜率，yb xa 表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率(3)Ax+By+C A 2+B 2 表示点(x，y)到直线AxByC0的距离.,角度3求参数值或取值范围例3(1)已知x，yR满足条件 xy+10，x+y20，x2，若目标函数zaxy仅在点(2，3)处取得最大值，则实数a的取值范围是()A(，1)B(，1C1，)D(1，),答案：D,解析：(1)作出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，目标函数zaxy可化为yaxz，且目标函数仅在点A(2，3)处取到最大值，所以a1，故选D.,(2)已知实数x，y满足1yxyax3，若y2x的最大值是3，则实数a的取值范围是()A(，3 B1，3C(，2)D(2，),答案：A,解析：(2)不等式1yxyax3等价于 y1，x+yy，x+yax+3，化简得 y1，x0，y a1 x+3，设zy2x，则y2xz，且z的最大值是3，由图形知，a12，解得a3，所以实数a的取值范围是(，3.,反思感悟 由目标函数的最值求参数的方法(1)把参数当常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数求出最值，通过构造方程或不等式求出参数的值或取值范围(2)先分离含有参数的式子，数形结合确定含参数的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数提醒参数可能在表示可行域的不等式中(影响可行域的形状)，也可能在目标函数中(影响最优解的位置)，求解时注意参数的影响，有时需要对参数进行分类讨论,【对点训练】1若x，y满足约束条件 xy0，2x+y6，x+y2，则zx3y的最小值是_，最大值是_,2,8,解析：由 xy0，2x+y6，x+y2，画出可行域如图中阴影部分所示(含边界)由 2x+y=6，x+y=2，解得A(4，2)，由 xy=0，2x+y=6，解得B(2，2)，将函数y 1 3 x的图象平移可知，当目标函数的图象经过A(4，2)时，zmin43(2)2；当目标函数的图象经过B(2，2)时，zmax2328.,2设x，y满足约束条件 x+y2，xy2，y2，则目标函数z12xy的最大值是_，目标函数z2 2+2 的最小值是_,6,2,解析：在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域，其是以(2，0)，(0，2)，(4，2)为顶点的三角形区域(包含边界)(图略)，易得当目标函数z12xy经过平面区域内的点(4，2)时，取得最大值2426.z2x2y2表示平面区域内的点到原点的距离的平方，易得原点到直线xy2的距离的平方为所求最小值，即z2x2y2的最小值为 2 1 2+1 2 2 2.,3设x，y满足 x0，x+y20，axya0，若z2xy的最大值为 7 2，则实数a的值为()A 7 2 B0C1 D 7 2 或1,答案：C,解析：由z2xy存在最大值，可知a1，显然a0不符合题意作出不等式组 x0，x+y20，axya0 所表示的平面区域，如图1或图2中阴影部分(含边界)所示，作直线2xy0，平移该直线，易知，当平移到过直线xy20与axya0的交点时，z取得最大值 7 2，由 x+y2=0，axya=0，得 x=a+2 a+1，y=a a+1，代入2xy 7 2 得a1，故选C.,考点三线性规划的实际应用应用性例4某校准备采用导师制成立培养各学科全优尖子生培优小组A，B，设想培优小组A中，每1名学生需要配备2名理科教师和2名文科教师做导师；设想培优小组B中，每1名学生需要配备3名理科教师和1名文科教师做导师若学校现有14名理科教师和9名文科教师积极支持，则两培优小组能够成立的学生人数和最多是_,5,解析：根据题意，设培优小组A，B能够成立的学生人数分别为x，y(x，y均为正整数)，则zxy，2x+3y14，2x+y9，x，y，作出不等式组所表示的平面区域，为图中四边形OABC及其内部的整数点，作出直线xy0，平移该直线，当平移后的直线经过点(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)时，zxy取得最大值，zmax5，故两培优小组能够成立的学生人数和最多是5.,反思感悟1解线性规划应用题3步骤(1)转化设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题(2)求解解这个纯数学的线性规划问题(3)作答将数学问题的答案还原为实际问题的答案2求解线性规划应用题的3个注意点(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x，y的取值范围，特别注意分析x，y是否是整数、是否是非负数等(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式,【对点训练】2022河北省“五个一名校联盟”考试某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为()A.15万元 B16万元C17万元 D18万元,答案：D,解析：设生产甲产品x吨，乙产品y吨，获利润z万元，由题意可知，3x+2y12，x+2y8，x0，y0，z3x4y，画出可行域如图中阴影部分所示，直线z3x4y过点M时，z3x4y取得最大值，由 3x+2y=12，x+2y=8，得 x=2，y=3，M(2，3)，故z3x4y的最大值为18，故选D.,