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第六节余弦定理、正弦定理及应用举例,教材回扣夯实“四基”,题型突破提高“四能”,教材回扣夯实“四基”,基础知识1.正弦定理、余弦定理在ABC中，若角A、B、C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆半径，则,sin,sin,b2c22bc cos A,a2c22ac cos B,a2b22ab cos C,2R sin B,2R sin C,2,2,sin Asin Bsin C,2 2 2 2,2 2 2 2a,2 2 2 2ab,【微点拨】若已知两边和其中一边的对角，解三角形时，可用正弦定理在根据另一边所对角的正弦值，确定角的值时，要注意避免增根或漏解，常用的基本方法就是结合“大边对大角，大角对大边”及三角形内角和定理去考虑问题,2三角形的面积公式(1)S 1 2 ah(h表示边a上的高)(2)S 1 2 bc sin A_(3)S 1 2 r(abc)(r为三角形的内切圆半径),1 2 ac sin B,1 2 ab sin C,3实际问题中的常用角(1)仰角和俯角(此处可以做成一个表格),仰角,俯角,(2)方位角,(3)方向角,(4)坡角与坡度,坡比,常用结论1在ABC中，常有以下结论(1)ABC.(2)在三角形中大边对大角，大角对大边(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边(4)sin(AB)sin C；cos(AB)cos C；tan(AB)tan C；sin A+B 2 cos C 2；cos A+B 2 sin C 2.(5)tan Atan Btan Ctan Atan Btan C.(6)ABabsin Asin Bcos Acos B2三角形中的射影定理在ABC中，ab cos Cc cos B；ba cos Cc cos A；cb cos Aa cos B,基本技能、思想、活动经验题组一思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)1.三角形中三边之比等于相应的三个内角之比()2当b2c2a20时，ABC为锐角三角形()3从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则，的关系为180.()4方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系(),题组二教材改编5在ABC中，AB5，AC3，BC7，则BAC()A 6 B 3 C 2 3 D 5 6,答案：C,解析：在ABC中，设ABc5，ACb3，BCa7，由余弦定理得cos BAC b 2+c 2 a 2 2bc 9+2549 30 1 2，由A(0，)，得A 2 3，即BAC 2 3.故选C.,6若点A在点C的北偏东30，点B在点C的南偏东60，且ACBC，则点A在点B的()A北偏东15 B北偏西15C北偏东10 D北偏西10,答案：B,解析：B.如图所示，ACB90，又ACBC，所以CBA45，而30，所以90453015.所以点A在点B的北偏西15.故选B.,题组三易错自纠7在ABC中，B30，b 2，c2，则A()A15 B45C15或105 D45或135,答案：C,解析：由正弦定理得sin C c sin B b 2 sin 30 2 2 2.cb，B30，C45或135，当C45时，A105；当C135时，A15.故选C.,8在ABC中，若sin 2Asin 2C，则ABC的形状是()A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形,答案：D,解析：在ABC中，若sin 2Asin 2C.可得2A2C或2A2C，所以AC或AC 2.所以三角形ABC是等腰三角形或直角三角形，故选D.,题型突破提高“四能”,题型一利用正弦、余弦定理解三角形例1(1)在ABC中，若sin Asin Bsin C1 3 1则B()A30 B60C120 D150,答案：C,解析：由正弦定理得：abc1 3 1，设ak，b 3 k，ck(k0)，由余弦定理得cos B a 2+c 2 b 2 2ac k 2+k 2 3 k 2 2 k 2 1 2，0B180，B120，故选C.,(2)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C 3，b 6，c3，则A_,解析：C 3，b 6，c3，由正弦定理 b sin B c sin C，可得sin B b sin C c 6 3 2 3 2 2，bc，B 0，3，B 4，ABC 4 3 5 12.,答案：5 12,类题通法利用正弦、余弦定理解题策略,巩固训练1(1)2022河北任丘一中月考在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2b2c2 2 ac，则角B的大小是()A45 B60C90 D135,解析：ABC中，a2b2c2 2 ac，可得：a2c2b2 2 ac，由余弦定理可得：cos B a 2+c 2 b 2 2ac 2ac 2ac 2 2，B(0，180)，B45，故选A.,答案：A,(2)2022北航实验学校月考在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sin C2sin A，b2a2 1 2 ac，则sin B等于_,答案：7 4,解析：sin C2sin A，c2a，又b2a2 1 2 ac，b22a2即b 2 a，由余弦定理可得，cos B a 2+c 2 b 2 2ac a 2+4 a 2 2 a 2 2a2a 3 4，又0B，sin B 1 cos 2 B 1 3 4 2 7 4.,题型二正弦定理、余弦定理的综合应用角度1 与三角形形状有关的问题例2(1)2022湖北武汉洪山高级中学月考在ABC中，已知sin C2sin(BC)cos B，那么ABC一定是()A等腰直角三角形 B等腰三角形C直角三角形 D等边三角形,答案：B,解析：因为sin C2sin(BC)cos B，sin(BC)sin A，所以sin C2sin A cos B，所以由正余弦定理得c2a a 2+c 2 b 2 2ac，化简得a2b2，因为a0，b0所以ab，所以ABC为等腰三角形，故选B.,(2)2021新高考卷在ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，ba1，ca2.若2sin C3sin A，求ABC的面积；是否存在正整数a，使得ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由,解析：因为2sin C3sin A，则2c2(a2)3a，则a4，故b5，c6，cos C a 2+b 2 c 2 2ab 1 8，所以，C为锐角，则sin C 1 cos 2 C 3 7 8，因此，SABC 1 2 ab sinC 1 2 45 3 7 8 15 7 4；显然cba，若ABC为钝角三角形，则C为钝角，由余弦定理可得cos C a 2+b 2 c 2 2ab a 2+a+1 2 a+2 2 2a a+1 a 2 2a3 2a a+1 a2，可得a1，aZ，故a2.,类题通法判断三角形形状的常用方法,巩固训练2(1)在ABC中，边a，b，c所对角分别为A，B，C，且 a sin A b cos B c cos C，则ABC的形状为()A等边三角形B有一个角为30的直角三角形C等腰直角三角形D有一个角为30的等腰三角形,答案：C,解析：在ABC中，由正弦定理可得 a sin A b sin B c sin C，又 sin A a sin B b sin C c cos B b cos C c，所以sin Bcos B，且sin Ccos C，故BC 4，A 2，故ABC为等腰直角三角形故选C.,(2)2022湖北武汉月考在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，b5，A 3 时，若a7，求c；记 c a k，当k为何值时，ABC是直角三角形,解析：在ABC中，由余弦定理可得：a2b2c22bccos A，即c25c240，所以(c8)(c3)0，解得：c8或c3(舍)，若B 2，则tan A a c tan 60 3，所以k c a 1 3 3 3，若C 2，则sin A a c sin 60 3 2，所以k c a 1 3 2 2 3 3，所以k 3 3 或 2 3 3 时，ABC为直角三角形,角度2 与三角形面积有关的问题例3(1)2022河北邯郸模拟在ABC中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若C 6，b2c2，则ABC的面积为()A 3 2 B1C 3 D2,答案：A,解析：在ABC中，由正弦定理，得 b sin B c sin C，即 2 sin B 1 sin 6，所以sin B2sin 6 2 1 2 1，又B(0，)，所以B 2，所以A 3，所以ABC的面积S 1 2 bc sin A 1 2 21sin 3 3 2.故选A.,(2)2022重庆八中月考在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 3(a2c2b2)2bc sin A.求B；若ABC的面积是 2 3 3，c2a，求b.,解析：(2)由 3(a2c2b2)2bc sin A，得 3 a 2+c 2 b 2 2ac b sin A a，得 3 cos B b sin A a，得 3 a cos Bb sin A，由正弦定理得 3 sin A cos Bsin B sin A，因为sin A0，所以 3 cos Bsin B，所以tan B 3，因为0B，所以B 3.若ABC的面积是 2 3 3，则 1 2 ac sin B 1 2 a2a 3 2 2 3 3，解得a 2 3 3，所以c 4 3 3.由余弦定理b2a2c22ac cos B，可得b2 2 3 3 2 4 3 3 2 2 2 3 3 4 3 3 1 2，所以b2.,类题通法求解三角形面积问题的方法,巩固训练3(1)2022山东昌乐一中月考在ABC中，若AB8，A120，其面积为4 3，则BC()A4 13 B2 13 C4 7 D2 21,解析：AB8，A120，ABC的面积为4 3，1 2 ABACsin A 1 2 8AC 3 2 4 3，解得AC2.由余弦定理得BC2AB2AC22ABACcos A，即BC2644282 1 2 84，解得BC2 21.故选D.,答案：D,(2)2021北京卷已知在ABC中，c2b cos B，C 2 3.求B的大小；.在下列三个条件中选择一个作为已知，使ABC存在且唯一确定，并求出BC边上的中线的长度c 2 b；周长为42 3；面积为SABC 3 3 4.,解析：(2).c2b cos B，则由正弦定理可得sin C2sin B cos B，sin 2Bsin 2 3 3 2，C 2 3，B 0，3，2B 0，2 3，2B 3，解得B 6；.若选择：由正弦定理结合可得 c b sin C sin B 3 2 1 2 3，与c 2 b矛盾，故这样的ABC不存在；,若选择：由可得A 6，设ABC的外接圆半径为R，则由正弦定理可得ab2R sin 6 R，c2R sin 2 3 3 R，则周长abc2R 3 R42 3，解得R2，则ab2，c2 3，由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：2 3 2+1 2 22 3 1 cos 6 7；若选择：由可得A 6，即ab，则SABC 1 2 ab sin C 1 2 a2 3 2 3 3 4，解得a 3，则由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：b 2+a 2 2 2b a 2 cos 2 3 3+3 4+3 3 2 21 2.,角度3 与平面多边形有关的问题例42022福建厦门一中月考在梯形ABCD中，ABCD，CD3AB3.(1)若CACD，且cos ABC 6 6，求ABC的面积S；(2)若cos DAC 2 4，cos ACD 3 4，求BD的长,解析：(1)如图，图为cos ABC 6 6，所以sin ABC 1 cos 2 ABC 30 6，在ABC中，AB1，ACCD3，由余弦定理，知AC2AB2BC22ABBCcosABC，所以91BC2 6 3 BC，即3BC2 6 BC240，解得BC 6 或BC 4 6 3(舍)，所以ABC的面积S 1 2 ABBCsin ABC 1 2 1 6 30 6 5 2.,(2)在ADC中，因为cos DAC 2 4，cos ACD 3 4，所以sin DAC 1 cos 2 DAC 14 4，sinACD 1 cos 2 ACD 7 4，由正弦定理 CD sinDAC AD sin ACD，所以AD 3 7 4 14 4 3 2 2，又cos BADcos(DACACD)cos DAC cos ACDsin DAC sin ACD 3 2 16 7 2 16 2 4，在ABD中，由余弦定理知BD2AB2AD22ABADcos BAD1 9 2 2 3 2 2 2 4 7，所以BD 7.,类题通法与平面多边形有关的问题求解策略,巩固训练42022湖南雅礼中学模拟如图，在平面四边形ABCD中，ADCD,BAD 3 4，2ABBD4.(1)求cos ADB；(2)若BC 22，求CD.,解析：(1)ABD中，AB sin ADB BD sin BAD，即 2 sin ADB 4 2 2，解得sin ADB 2 4，故cos ADB 14 4；(2)sin ADB 2 4 cos CDB，BCD中，cos CDB BD 2+CD 2 BC 2 2BDCD，即 2 4 CD 2+4 2 22 2 24CD，化简得(CD3 2)(CD 2)0，解得CD3 2.,题型三正弦定理、余弦定理的应用举例例52020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B,C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A，B，C满足ACB45，ABC60.由C点测得B点的仰角为15，BB与CC的差为100；由B点测得A点的仰角为45，则A，C两点到水平面ABC的高度差AACC约为(3 1.732)()A346 B373C446 D473,答案：B,解析：如图所示，根据题意过C作CECB，交BB于E，过B作BDAB，交AA于D，则BE100，CBCE 100 tan 15.在ACB中，CAB75，则BDAB C B sin 45 sin 75.又在B点处测得A点的仰角为45，所以ADBD C B sin 45 sin 75，所以高度差AACCADBE C B sin 45 sin 75 100 100 tan 15 sin 45 sin 75 100 100 sin 45 sin 15 100 100 2 2 2 2 3 2 1 2 100100(3 1)100373.故选B.,类题通法正、余弦定理应用举例的类型及解题策略,巩固训练5海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD80米，ADB135，BDCDCA15，ACB120，则A，B两点间的距离为_米,答案：80 5,解析：如图，在ACD中，DCA15，ADCADBBDC13515150，所以DAC15.由正弦定理，得AC 80 sin 150 sin 15 40 6 2 4 40(6+2)(米)在BCD中，BDC15，BCD135，所以CBD30.由正弦定理，得 CD sin CBD BC sin BDC，所以BC CD sin BDC sin CBD 80 sin 15 sin 30 40(6 2)(米)在ABC中，由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcos ACB1 600(84 3)1 600(84 3)21 600(6+2)(6 2)1 2 1 600161 60041 60020，解得AB80 5(米)，则A，B两点间的距离为80 5 米,