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第三节函数的奇偶性与周期性,必备知识基础落实,关键能力考点突破,微专题,最新考纲1了解函数奇偶性的含义2会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性3了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性,考向预测考情分析：以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，其中与函数的单调性、周期性交汇的问题仍是高考考查的热点题型以选择、填空题为主，中等偏上难度学科素养：通过函数奇偶性和周期性的概念考查数学抽象的核心素养；通过函数性质的应用考查直观想象、逻辑推理的核心素养,必备知识基础落实,一、必记2个知识点1函数的奇偶性,任意一个,f(x)f(x),y轴,任意一个,f(x)f(x),原点,2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)_，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中_的正数，那么这个_就叫做f(x)的最小正周期,f(x),存在一个最小,最小正数,二、必明3个常用结论1函数奇偶性常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)f(|x|).(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性(3)在公共定义域内有：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇,2函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(xa)f(x)，则T2a(a0)(2)若f(xa)1 f x，则T2a(a0)(3)若f(xa)1 f x，则T2a(a0),3函数对称性常用结论(1)若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)的图象关于直线xa对称(2)若对于R上的任意x都有f(2ax)f(x)或f(x)f(2ax)，则yf(x)的图象关于直线xa对称(3)若函数yf(xb)是奇函数，则函数yf(x)的图象关于点(b，0)中心对称,三、必练4类基础题(一)判断正误1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)“ab0”是“函数f(x)在区间a，b(ab)上具有奇偶性”的必要条件()(2)若函数f(x)是奇函数，则必有f(0)0.()(3)若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)的图象关于直线xa对称()(4)若函数yf(xb)是奇函数，则函数yf(x)的图象关于点(b，0)中心对称()(5)已知函数yf(x)是定义在R上的偶函数，若在(，0)上是减函数，则在(0，)上是增函数()(6)若T为yf(x)的一周期，那么nT(nZ)是函数f(x)的周期(),(二)教材改编2必修1P36练习T1改编下列函数为偶函数的是()Af(x)x1 Bf(x)x2xCf(x)2x2x Df(x)2x2x,答案：D,解析：D中，f(x)2x2xf(x)，所以f(x)为偶函数，其余A，B，C选项均不满足f(x)f(x),3必修1P45复习题B组T4改编设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x1，1)时，f(x)4 x 2+2，1x0，x，0 x1，则f 3 2 _,1,解析：f 3 2 f 1 2 4 1 2 2 21.,(三)易错易混4(不化简函数解析式出错)函数f(x)lg 1 x 2 x+3 3 是_函数(填“奇”或“偶”或“非奇非偶”),奇,解析：由 1 x 2 0，x+3 30，得1x1且x0，所以函数f(x)的定义域为(1，0)0，1，所以f(x)lg 1 x 2 x+3 3 lg 1 x 2 x，因为f(x)lg 1 x 2 x f(x)，所以f(x)是奇函数,5(找不到函数的周期从而求不出结果)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)f x+1 2，且f(1 2)3，则f 10 1 2 _,3,解析：因为f(x)f x+1 2，所以f(x1)f x+1 2+1 2 f x+1 2 f(x)，所以f(x)是以1为周期的周期函数，所以f 10 1 2 f 10+1 2 f(1 2)3.,(四)走进高考62021全国乙卷设函数f(x)1x 1+x，则下列函数中为奇函数的是()Af(x1)1 Bf(x1)1Cf(x1)1 Df(x1)1,答案：B,解析：方法1：f(x)1 2 x+1，其图象的对称中心为(1，1)，将yf(x)的图象沿x轴向右平移1个单位，再沿y轴向上平移1个单位可得函数f(x1)1的图象，关于(0，0)对称，所以函数f(x1)1是奇函数，故选B.方法2：选项A，f(x1)1 2 x 2，此函数为非奇非偶函数；选项B，f(x1)1 2 x，此函数为奇函数；选项C，f(x1)1 2x2 x+2，此函数为非奇非偶函数；选项D，f(x1)1 2 x+2，此函数为非奇非偶函数，故选B.,关键能力考点突破,考点一函数奇偶性的判断基础性例1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)9 x 2+x 2 9；(2)f(x)(x1)1x 1+x；,解析：(1)由 9 x 2 0，x 2 90.得x3.f(x)的定义域为3，3，此时f(x)0.又f(3)f(3)0，f(3)f(3)0.即f(x)f(x)f(x)既是奇函数，又是偶函数(2)由 1x 1+x 0，1+x0，得1x1.f(x)的定义域为(1，1不关于原点对称f(x)既不是奇函数，也不是偶函数,(3)f(x)4 x 2 x+3 3.,解析：(3)由 4 x 2 0，x+3 30 得2x2且x0.f(x)的定义域为2，0)0，2，关于原点对称此时，有f(x)4 x 2 x+3 3 4 x 2 x，f(x)f(x)，f(x)是奇函数,(4)f(x)x 2+2x+1，x0，x 2+2x1，x0.,解析：(4)当x0时，f(x)x22x1，x0，f(x)(x)22(x)1x22x1f(x)所以f(x)为奇函数,反思感悟判定函数奇偶性的两种常用方法(1)定义法,(2)图象法 注意对函数奇偶性的判断，不能用特殊值法，如存在x0使f(x0)f(x0)，不能判断函数f(x)是奇函数,考点二函数奇偶性的应用综合性、应用性例2(1)2019全国卷已知f(x)是奇函数，且当x0时，f(x)eax，若f(ln 2)8，则a_,3,解析：(1)由题意得，当x0，x0时，f(x)f(x)(eax)eax，所以f(ln 2)ea ln 2 e ln 2 a 2a823，即2a23，所以a3.,(2)设奇函数f(x)的定义域为5，5，若当x0，5时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)0的解集是_,(2，0)，,解析：(2)由图象知，当00；当20.综上，f(x)0的解集为(2，0)2，5.,反思感悟函数奇偶性的应用(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)f(x)0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性或等式恒成立的条件得方程(组)，进而得出参数的值(4)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象(5)求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值注意对于定义域为I的奇函数f(x)，若0I，则f(0)0.,【对点训练】12022武汉质检下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()Ayx sin x Byx ln xCy e x 1 e x+1 Dyx ln(x 2+1 x),答案：B,解析：A中，yx sin x为偶函数，D中，yx ln(x 2+1 x)是偶函数B中，函数yx ln x的定义域为(0，)，非奇非偶函数C中，f(x)e x 1 e x+1 1 e x 1+e x f(x)，则y e x 1 e x+1 为奇函数,2已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2xm，则f(3)_,7,解析：因为f(x)为R上的奇函数，所以f(0)0，即f(0)20m0，解得m1，故f(x)2x1(x0)，则f(3)f(3)(231)7.,32022贵阳市第一学期监测考试函数f(x)(x1)2可以表示为奇函数h(x)与偶函数g(x)的和，则g(1)等于()A2 B0C1 D2,答案：D,解析：由已知得f(x)(x1)2x22x1h(x)g(x)，h(x)是奇函数，g(x)是偶函数，g(x)x21，h(x)2x，g(1)1212.,考点三函数的周期性及其应用综合性 例3(1)2022重庆质检已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意的实数x，f(x2)f(x2)，当x(0，2)时，f(x)x2，则f 13 2()A 9 4 B 1 4 C 1 4 D 9 4,答案：A,解析：(1)由f(x2)f(x2)知yf(x)的周期T4，又f(x)是定义在R上的奇函数，f 13 2 f 8 3 2 f 3 2 f 3 2 9 4.,(2)已知f(x)是定义域为(，)的奇函数，满足f(1x)f(1x)若f(1)2，则f(1)f(2)f(3)f(50)()A50 B0 C2 D50,答案：C,解析：(2)方法一f(x)在R上是奇函数，且f(1x)f(1x)f(x1)f(x1)，即f(x2)f(x)因此f(x4)f(x)，则函数f(x)是周期为4的函数，由于f(1x)f(1x)，f(1)2，故令x1，得f(0)f(2)0，令x2，得f(3)f(1)f(1)2，令x3，得f(4)f(2)f(2)0，故f(1)f(2)f(3)f(4)20200，所以f(1)f(2)f(3)f(50)120f(1)f(2)2.,方法二由题意可设f(x)2sin 2 x，作出f(x)的部分图象如图所示由图可知，f(x)的一个周期为4，所以f(1)f(2)f(3)f(50)12f(1)f(2)f(3)f(4)f(49)f(50)120f(1)f(2)2.,(3)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0 x2时，f(x)x3x，则函数yf(x)的图象在区间0，6上与x轴的交点个数为_,7,解析：因为当0 x2时，f(x)x3x.又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)0，则f(6)f(4)f(2)f(0)0，又f(1)0，f(3)f(5)f(1)0，故函数yf(x)的图象在区间0，6上与x轴的交点有7个,反思感悟求函数周期的方法,【对点训练】1已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(xy)f(xy)2f(x)f(y)，且f(1 2)2 2，f(0)0，则f(2021)()A2021B1C0D1,答案：C,解析：令xy0，则f(0)f(0)2f(0)f(0)，故2f(0)(f(0)1)0，故f(0)1，(f(0)0舍)令xy 1 2，则f(1)f(0)2f(1 2)f(1 2)，故f(1)0.f(x1)f(x1)2f(x)f(1)0，即f(x1)f(x1)f(x2)f(x)f(x4)f(x)，故f(x)的周期为4，即f(x)是周期函数f(2021)f(1)0.,2已知函数f(x)的定义域为R，f(x2)为偶函数，f(2x1)为奇函数，则()Af 1 2 0 Bf(1)0Cf(2)0 Df(4)0,答案：B,解析：因为函数f(x2)为偶函数，则f(2x)f(2x)，可得f(x3)f(1x)，因为函数f(2x1)为奇函数，则f(12x)f(2x1)，所以，f(1x)f(x1)，所以，f(x3)f(x1)f(x1)，即f(x)f(x4)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数，因为函数F(x)f(2x1)为奇函数，则F(0)f(1)0，故f(1)f(1)0，其它三个选项未知,考点四函数性质的综合运用综合性角度1函数的单调性与奇偶性例4(1)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)xf(x)若ag(log25.1)，bg(20.8)，cg(3)，则a，b，c的大小关系为()Aabc BcbaCbac Dbca,答案：C,解析：(1)易知g(x)xf(x)在R上为偶函数，奇函数f(x)在R上是增函数，且f(0)0.g(x)在(0，)上是增函数又3log25.1220.8，且ag(log25.1)g(log25.1)，g(3)g(log25.1)g(20.8)，则cab.,(2)2020新高考卷若定义在R的奇函数f(x)在(，0)单调递减，且f(2)0，则满足xf(x1)0的x的取值范围是()A1，1 3，+B3，1 0，1 C1，0 1，+D1，0 1，3,答案：D,解析：(2)因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)0.又f(x)在(，0)单调递减，且f(2)0，画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示，则函数f(x1)的大致图象如图(2)所示当x0时，要满足xf(x1)0，则f(x1)0，得1x0.当x0时，要满足xf(x1)0，则f(x1)0，得1x3.故满足xf(x1)0的x的取值范围是1，0 1，3.,反思感悟1比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较大小；2对于抽象函数不等式的求解，应变形为f(x1)f(x2)的形式，再结合单调性，脱去“f”变成常规不等式，转化为x1x2)求解.,角度2函数的奇偶性与周期性例5(1)2022贵阳调研定义在R上的奇函数f(x)满足f(2x)f(x)，且当1x0时，f(x)2x1，则f(log220)()A 1 4 B 1 5 C 1 5 D 1 4,答案：B,解析：(1)依题意，知f(2x)f(x)f(x)，则f(4x)f(x)，所以f(x)是周期函数，且周期为4.又2log253，则12log250，所以f(log220)f(2log25)f(log252)f(2log25)(2 2 log 2 5 1)4 5 1 1 5.,(2)已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)1，f(5)2a3 a+1，则实数a的取值范围为()A(1，4)B(2，0)C(1，0)D(1，2),答案：A,解析：因为f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数f(5)f(1)f(1)1.从而 2a3 a+1 1，解得1a4.,反思感悟周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解,角度3函数的奇偶性与对称性相结合例6已知定义在R上的函数f(x)，对任意实数x有f(x4)f(x)，若函数f(x1)的图象关于直线x1对称，f(5)2，则f(2 021)_,2,解析：由函数yf(x1)的图象关于直线x1对称可知，函数f(x)的图象关于y轴对称，故f(x)为偶函数由f(x4)f(x)，得f(x44)f(x4)f(x)，所以f(x)是周期T8的偶函数，所以f(2 021)f(52528)f(5)f(5)2.,反思感悟函数f(x)满足的关系f(ax)f(bx)表明的是函数图象的对称性，函数f(x)满足的关系f(ax)f(bx)(ab)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆,【对点训练】12022佛山调研已知函数f(x)log2 1 x+1+1 x 2+3，则不等式f(lg x)3的解集为()A 1 10，10 B，1 10 10，+C(1，10)D 1 10，1 1，10,答案：D,解析：f(x)的定义域为x|xR，且x0，且f(x)f(x)，则yf(x)是偶函数，易知f(x)在(0，)上是单调递减函数，f(1)log22 4 3，所以不等式f(lg x)3可化为0|lg x|1，即1lg x1，且lg x0，解得 1 10 x10，且x1，所以所求不等式的解集为 1 10，1 1，10,2已知f(x)是定义域为R的奇函数，且函数f(x2)为偶函数，则下列结论不正确的是()A函数yf(x)的图象关于直线x1对称Bf(4)0Cf(x8)f(x)D若f(5)1，则f(2 019)1,答案：A,解析：根据题意，f(x)是定义域为R的奇函数，则f(x)f(x)，又由函数f(x2)为偶函数，则函数f(x)的图象关于直线x2对称，则有f(x)f(4x)，则有f(x4)f(x)，即f(x8)f(x4)f(x)，则函数f(x)是周期为8的周期函数；据此分析选项：对于A，函数f(x)的图象关于直线x2对称，A错误；对于B，f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)0，又由函数f(x)的图象关于直线x2对称，则f(4)0，B正确；对于C，函数f(x)是周期为8的周期函数，即f(x8)f(x)，C正确；对于D，若f(5)1，则f(2 019)f(52 024)f(5)1，D正确,微专题函数性质中“三个二级”结论的应用,函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题,结论1抽象函数的对称性已知函数f(x)是定义在R上的函数(1)若f(ax)f(bx)恒成立，则yf(x)的图象关于直线x a+b 2 对称，特别地，若f(ax)f(ax)恒成立，则yf(x)的图象关于直线xa对称(2)若函数yf(x)满足f(ax)f(ax)0，即f(x)f(2ax)，则f(x)的图象关于点(a，0)对称,例1定义在R上的函数f(x)满足：对任意xR有f(x4)f(x)；f(x)在0，2上是增函数；f(1x)f(3x)，则下列结论正确的是()Af(7)f(6.5)f(4.5)Bf(7)f(4.5)f(6.5)Cf(4.5)f(6.5)f(7)Df(4.5)f(7)f(6.5),解析：由知函数f(x)的周期为4，由f(1x)f(3x)，知函数f(x)图象关于直线x2对称，由知函数f(x)在0，2上单调递增，则在2，4上单调递减，且在0，4上越靠近x2，对应的函数值越大，又f(7)f(3)，f(6.5)f(2.5)，f(4.5)f(0.5)，由以上分析可得f(0.5)f(3)f(2.5)，即f(4.5)f(7)f(6.5).,答案：D,结论2奇函数的最值性质已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的xD，都有f(x)f(x)0.特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f x max+f x min 0，且若0D，则f(0)0.,例2设函数f(x)x+1 2+sin x x 2+1 的最大值为M，最小值为m，则Mm_,2,解析：显然函数f(x)的定义域为R，f(x)x+1 2+sin x x 2+1 1 2x+sin x x 2+1，设g(x)2x+sin x x 2+1，则g(x)g(x)，g(x)为奇函数，由奇函数图象的对称性知g(x)maxg(x)min0，Mmg(x)1maxg(x)1min2g(x)maxg(x)min2.,结论3抽象函数的周期性(1)如果f(xa)f(x)(a0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T2a.(2)如果f(xa)1 f x(a0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T2a.(3)如果f(xa)f(x)c(a0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T2a.,例32022江西鹰潭模拟偶函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，当1x0时，f(x)x 2 1，则f(2 020)()A2 B0C1 D1,解析：f(x)为偶函数，f(x)的图象关于直线x0对称，f(x)f(x)又f(x)的图象关于点(1，0)对称，f(x)f(2x)，即f(x)f(x2)f(x)的周期为4.f(2 020)f(2 0204505)f(0)，又当1x0时，f(x)x21，f(2 020)f(0)1.,答案：D,