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5.1.2导数的概念及其几何意义[教材要点]要点一导数的概念1．平均变化率：对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，则把ΔyΔx＝________________叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率．fx0＋Δx－fx0Δx2．导数：如果Δx→0时，平均变化率ΔyΔx无限趋近于一个确定的值，即ΔyΔx有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称瞬时变化率)，记作________或________，即________＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx.f′(x0)y′|0xx＝f′(x0)状元随笔(1)当Δx≠0时，比值ΔyΔx的极限存在，则f(x)在x＝x0处可导；若ΔyΔx的极限不存在，则f(x)在x＝x0处不可导或无导数．(2)在x＝x0处的导数的定义可变形为f′(x0)＝limΔx→0fx0－Δx－fx0－Δx或f′(x0)＝limx→x0fx－fx0x－x0.要点二导数的几何意义对于曲线y＝f(x)上的点P0(x0，f(x0))和P(x，f(x))，当点P0趋近于点P时，割线P0P趋近于确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为点P0处的________．割线P0P的斜率是______________．当点P无限趋近于点P0时，k无限趋近于切线P0T的斜率．因此，函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线P0T的________，即k＝______________________.切线k＝fx－fx0x－x0斜率klimΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx状元随笔(1)曲线的切线与割线①曲线的切线是由割线绕一点转动，当另一点无限接近这一点时割线趋于的直线．②曲线的切线就是割线趋近于某一确定位置的直线，体现了无限趋近的思想．(2)曲线的切线与导数①函数f(x)在x＝x0处有导数，则在该点处函数f(x)表示的曲线必有切线，且导数值是该切线的斜率．②函数f(x)表示的曲线在点(x0，f(x0))处有切线，但函数f(x)在该点处不一定可导，如f(x)＝3x在x＝0处有切线，但不可导．曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以有无穷多个．与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线．要点三导函数对于函数y＝f(x)，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，当x变化时，f′(x)便是一个关于x的函数，我们称它为函数y＝f(x)的导函数(简称为导数)，即f′(x)＝y′＝________________.limΔx→0fx＋Δx－fxΔx状元随笔函数在某点处的导数与导函数的区别(1)函数在某点处的导数是一个定值，导函数是一个函数．(2)函数f(x)在x0处的导数就是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．[基础自测]1．判断正误(正确的画“√”，错...