数学选修2RJA04第四章数列04专题1利用递推公式求通项公式题型1累加法解析专题1利用递推公式求通项公式刷难关1．已知数列{an}满足a1＝12，an＋1＝an＋1n2＋n，则an＝_____________.因为an＋1＝an＋1n2＋n，所以an＋1－an＝1n2＋n＝1n－1n＋1.当n≥2，n∈N*时，an－an－1＝1n－1－1n，所以a2－a1＝1－12，a3－a2＝12－13，…an－an－1＝1n－1－1n，将这n－1个式子相加可得an－a1＝1－12＋12－13＋…＋1n－1－1n＝1－1n，32－1n专题1利用递推公式求通项公式刷难关又因为a1＝12，所以an＝1－1n＋12＝32－1n(n≥2)．当n＝1时，a1＝32－11＝12也符合上式，所以an＝32－1n.解析解析专题1利用递推公式求通项公式刷难关2．[吉林长春外国语学校2021高二开学考试]在数列{an}中，若a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则an＝____________. a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，∴an＝an－1＋(n－1)＋1(n≥2，n∈N*)，∴an－an－1＝n(n≥2，n∈N*)，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n＋(n－1)＋…＋2＋2＝n（n＋1）2＋1(n≥2，n∈N*)，当n＝1时也符合，∴an＝n（n＋1）2＋1.n（n＋1）2＋1题型2累乘法解析专题1利用递推公式求通项公式刷难关D3．在数列{an}中，a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则数列{an}的通项an＝()A．2n－1B.n＋1nn－1C．n2D．n由an＝n(an＋1－an)(n∈N*)得(n＋1)an＝nan＋1(n∈N*)，即an＋1an＝n＋1n(n∈N*)，则当n≥2时，anan－1＝nn－1，an－1an－2＝n－1n－2，an－2an－3＝n－2n－3，…，a2a1＝21，由累乘法可得ana1＝n(n≥2)．又因为a1＝1，所以an＝n(n≥2)．当n＝1时，a1＝1符合上式，所以an＝n.故选D.解析专题1利用递推公式求通项公式刷难关C4．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2nan，则数列{an}的通项an＝()A．2n2－n＋12B．2n2＋n＋12C．2n2－n＋22D．2n2－n－22 an＋1＝2nan，∴an＋1an＝2n，当n≥2时，an＝anan－1·an－1an－2·…·a2a1·a1＝2n－1·2n－2·…·2×2＝2n2－n＋22，当n＝1时，a1＝2也符合上述通项公式，∴an＝2n2－n＋22.故选C.解析专题1利用递推公式求通项公式刷难关5．在数列{an}中，a1＝1，a1＋a222＋a332＋…＋ann2＝an(n∈N*)，则an＝________.由题意得，当n≥2时，a1＋a222＋a332＋…＋an－1（n－1）2＝an－1，所以ann2＝an－an－1，即(n2－1)an＝n2an－1，即n＋1nan＝nn－1an－1，所以n＋1nan＝nn－1an－1＝n－1n－2an－2＝…＝21a1＝2，所以an＝2nn＋1(n≥2)，当n＝1时，也符合上式，所以an＝2nn＋1.2nn...
