数学选择性必修第二册RJA专题5导数与零点、不等式的综合运用专题解专题5导数与零点、不等式的综合运用刷难关题型1零点问题1．[河南豫南九校2021月考]已知函数f(x)＝2x3－3x2－12x＋m.(1)若m＝1，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；(2)若函数f(x)有3个零点，求实数m的取值范围．(1)由题意，f′(x)＝6x2－6x－12，故f′(1)＝－12.又当m＝1时，f(1)＝2－3－12＋1＝－12，故所求的切线方程为y＋12＝－12(x－1)，即y＝－12x.(2)由题意，f′(x)＝6x2－6x－12＝6(x2－x－2)＝6(x＋1)(x－2)，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝2.故当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0，当x∈(－1，2)时，f′(x)<0，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0.故当x＝－1时，函数f(x)有极大值f(－1)＝2×(－1)3－3×(－1)2－12×(－1)＋m＝m＋7，当x＝2时，函数f(x)有极小值f(2)＝2×23－3×22－12×2＋m＝m－20.若函数f(x)有3个零点，则实数m满足m＋7>0，m－20<0，解得－7
0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．当a>0时，令f′(x)＝1x－2a＝0，得x＝12a>0，当x∈0，12a时，f′(x)>0，故f(x)单调递增；当x∈12a，＋∞时，f′(x)<0，故f(x)单调递减．综上所述，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>0时，f(x)在0，12a上单调递增，在12a，＋∞上单调递减．解专题5导数与零点、不等式的综合运用刷难关(2)由(1)知，当a≤0时，f(x)至多有一个零点，不符合题意；当a>0时，f(x)在0，12a上单调递增，在12a，＋∞上单调递减，f(x)要有两个零点，需满足f12a>0，即ln12a>0，解得01.因为f1e＝－1－2ae＋1<0，所以f(x)在0，12a上有一个零点．1a2>12a，f1a2＝－2lna－2a＋1，令h(a)＝－2lna－2a＋1，00，所以h(a)在0，12上单调递增，所以h(a)
