初中数学知识点总结-全面整理.pdf

人教版初中数学知识点总结目 录七年级数学（上）知识点七年级数学（上）知识点.1第一章有理数.1第二章 整式的加减.3第三章 一元一次方程.4第四章 图形的认识初步.5 七年级数学（下）知识七年级数学（下）知识 点点.6第五章 相交线与平行线.6第六章 平面直角坐标系.8第七章三角形.9第八章二元一次方程组.12第九章不等式与不等式组.13第十章 数据的收集、整理与描述.13八年级数学（上）知识点八年级数学（上）知识点.14第十一章 全等三角形.14第十三章实数.16第十四章一次函数.17第十五章整式的乘除与分解因式.18八年八年级数学级数学（下）知识点（下）知识点.19十六章分式.19第十八章 勾股定理.21第十九章 四边形.22第二十章数据的分析.23九年级数学（上）知识点九年级数学（上）知识点.24第二十一章 二次根式.24第二十二章 一元二次根式.25第二十三章 旋转.26第二十四章圆.27第二十五章概率.28九年级数学（下）知识点九年级数学（下）知识点.30第二十七章相似.32第二十八章锐角三角函数.33第二十九章投影与视图.341七年级数学七年级数学(上上)知识点知识点人教版七年级数学上册主要包含了有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的认识初步 四个章节的内容.第一章有理数第一章有理数知识框架 论；正整散0负益散正分散I负分數I如法HM1I1交M靖含小；:分間小：；.，乗法除法|二.知识概念1.有理数：(1)凡能写成 9(p,q为整数且 p尹 0)形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；P正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0 即不是正数，也不是负数;-a不一定是负数，+a也不一定是正数；兀不是有理数；正整数正分数(2)有理数的分类：有理数0)(a 0)(a-0)或 Ia|-Ja(a0)；绝对值的问题经常分类讨 I-a(a0)a(a 0)i(2)绝对值可表示为：|a|=”“W”表示大小关系的式子叫做不等式。2.不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解3.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。4.一元一次不等式：不等式的左、右两边都是整式，只有一个未知数，并且未知数的最高 次数是 1,像这样的不等式，叫做一元一次不等式。5.一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成6.了一个一元一次不等式组。7.定理与性质不等式的性质：不等式的基本性质 1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方 向不变。不等式的基本性质 2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。不等式的基本性质 3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。本章内容要求学生经历建立一元一次不等式（组）这样的数学模型并应用它解决实际问题 的过程，体会不等式（组）的特点和作用，掌握运用它们解决问题的一般方法，提高分析 问题、解决问题的能力，增强创新精神和应用数学的意识。第十章第十章数据的收集、整理与描述数据的收集、整理与描述一.知识框架设未知数列不式（斌）教学冋慝的解（不等式间）的解染敎学问題（元次不等式或 一元一次不等式组）实际何牘（包含不等关系）实际问躡的解14二.知识概念1.全面调查：考察全体对象的调查方式叫做全面调查。2.抽样调查：调查部分数据，根据部分来估计总体的调查方式称为抽样调查。3.总体：要考察的全体对象称为总体。4.个体：组成总体的每一个考察对象称为个体。5.样本：被抽取的所有个体组成一个样本。6.样本容量：样本中个体的数目称为样本容量。7.频数：一般地，我们称落在不同小组中的数据个数为该组的频数。8.频率：频数与数据总数的比为频率。9.组数和组距：在统计数据时，把数据按照一定的范围分成若干各组，分成组的个数称为 组数，每一组两个端点的差叫做组距。本章要求通过实际参与收集、整理、描述和分析数据的活动，经历统计的一般过程，感受统计在生活和生产中的作用，增强学习统计的兴趣，初步建立统计的观念，培养重视 调查研究的良好习惯和科学态度。八年级数学（上）知识点八年级数学（上）知识点人教版八年级上册主要包括全等三角形、轴对称、实数、一次函数和整式的乘除与分解 因式五个章节的内容。第十一章全等三角形第十一章全等三角形全面调查全面调查抽样调查收整描分集理述:析数数数_ J数据据据:据得出结论轴对称一.知识框架用坐标表示轴对称轴对称变换作图形的对称轴作轴对称图形等边三倫形等腰等腰三角形15边边边.边角边.角边角.伯伽边，斜边 菅他边二.知识概念1.全等三角形：两个三角形的形状、大小、都一样时，其中一个可以经过平移、旋转、对 称等运动(或称变换)使之与另一个重合，这两个三角形称为全等三角形。2.全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等、对应边相等。3.三角形全等的判定公理及推论有：(1)“边角边”简称“SAS”(2)“角边角”简称“ASA”(3)“边边边”简称“SSS”(4)“角角边”简称“AAS”(5)斜边和直角边相等的两直角三角形(HL)。除了边边角和角角角。4.角平分线推论：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。5.证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤：、确定巳知条件(包 括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含 的边角关系)，、回顾三角形判定，搞清我们还需要什么，、正确地书写证明格式(顺 序和对应关系从巳知推导岀要证明的问题).在学习三角形的全等时，教师应该从实际生活中的图形岀发，引岀全等图形进而引岀 全等三角形。通过直观的理解和比较发现全等三角形的奥妙之处。在经历三角形的角平分 线、中线等探索中激发学生的集合思维，启发他们的灵感，使学生体会到集合的真正魅力。第十二章轴对称第十二章轴对称知识框架等腰三角形-等边三角形食中的対称-全等形16二.知识概念1.对称轴：如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图 形叫做轴对称图形.；这条直线叫做对称轴。2.性质：（1）轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。（2）角平分线上的点到角两边距离相等。（3）线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。（4）与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。（5）轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。3.等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，（等边对等角）4.等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，简称为“三线合一”5.等腰三角形的判定：等角对等边。6.等边三角形角的特点：三个内角相等，等于 60，7.等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等腰三角形。有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形 有两个角是 60的三角形是等边三角形。8.直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半。9.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。本章内容要求学生在建立在轴对称概念的基础上，能够对生活中的图形进行分析鉴赏，亲身经历数学美，正确理解等腰三角形、等边三角形等的性质和判定，并利用这些性质来 解决一些数学问题。第十三章实数第十三章实数1.算术平方根：一般地，如果一个正数 x的平方等于 a,即 x2=a,那么正数 x叫做 a 的篡 术圧方根，记作而。0 的算术平方根为 0;从定义可知，只有当 aNO 时,a 才有算术平方 根。2.平方根：一般地，如果一个数 x的平方根等于 a,即 x2=a,那么数 x就叫做 a 的垩方;根。3.正数有两个平方根（一正一负）它们互为相反数；0 只有一个平方根，就是它本身；负 数没有平方根。4.正数的立方根是正数；0的立方根是 0；负数的立方根是负数。数，整数 J 自然数（,1,2,负整数（-1,-分数（小数）正分数（丄,负分数（-1,3）3）2）（整数、有限小数、无限循环小数）32）3）5.数 a的相反数是-a，一个正实数的绝值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反正有理数负有理数（无限不循环绝对数是017实数部分主要要求学生了解无理数和实数的概念，知道实数和数轴上的点一一对应，能估算无理数的大小；了解实数的运算法则及运算律，会进行实数的运算。重点是实数的 意义和实数的分类；实数的运算法则及运算律。第十四章一次函数第十四章一次函数一.知识框架二.知识概念1.一次函数：若两个变量 x,y 间的关系式可以表示成 y=kx+b(k#0)的形式，则称 y 是 X 的一 次函数(x为自变量,y为因变量)。特别地，当 b=0时，称 y是 x的正比例函数。2.正比例函数一般式：y=kx(k#0),其图象是经过原点(0,0)的一条直线。3.正比例函数 y=kx(k#0)的图象是一条经过原点的直线，当 k0 时，直线 y=kx 经过第 一、三象限,y 随 x的增大而增大，当 k0 时,y随 x 的增大而增大；当 k 0,b 0)4a忝=Va(a0,b0)b.Q(1)(3)b.0k 0n）.在应用时需要注意以下几点：1法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且 0不能做除数，所以法则中 a#0.2任何不等于 0的数的 0次幂等于 1,即a=1（a=0）,如10=1,（-2.5。=1）,则 00无意义.a=丄3任何不等于 0 的数的-p 次幂（p是正整数）,等于这个数的 p 的次幂的倒数，即a（a公 0,p是正整数），而 0-1,0-3都是无意义的;当 a0时,a-P的值一定是正的；当 a0时,a-P的值可.11（-2）=（-2）一般地,（-a）n0 时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内 y 值随 x 值的增 大而减小；当 kV0 时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内 y 值随 x 值的增 大而增大。4.|k|的几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的 矩形的面积。在学习反比例函数时，教师可让学生对比之前所学习的一次函数启发学生进行对比性 学习。在做题时，培养和养成数形结合的思想。第十八章勾股定理第十八章勾股定理一.知识框架2 二.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为 a,b,斜边长为 c,那么 a2+b2=c2。勾股定理逆定理：如果三角形三边长 a,b,c满足 a2+b2=c2。，那么这个三角形是直角三角形。2.定理：经过证明被确认正确的命题叫做定理。3.我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那 么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理）勾股定理是直角三角形具备的重要性质。本章要求学生在理解勾股定理的前提下，学 会利用这个定理解决实际问题。可以通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受。22第十九章四边形第十九章四边形一.知识框架二.知识概念1.平行四边形定义：2.平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等。角线互相平分。3.平行四边形的判定.两组对边分别相等的四边形是平行四边形.对角线互相平分的四边形是平行四边形；.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。4.三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。5.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。6.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形。7.矩形的性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线平分且相等。AC=BD8.矩形判定定理：.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。.对角线相等的平行四边形是矩形。有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。B平行四边形的对23.有三个角是直角的四边形是矩形。249.菱形的定义：邻边相等的平行四边形。10.菱形的性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平 分一组对角。11.菱形的判定定理：.一组邻边相等的平行四边形是菱形。对角线互相垂直的平行四边形是菱形。四条边相等的四边形是菱形。12.S菱形=1/2Xab（a、b 为两条对角线）13.正方形定义：一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形。14.正方形的性质：四条边都相等，四个角都是直角。正方形既是矩形，又是菱形。15.正方形判定定理：1.邻边相等的矩形是正方形。2.有一个角是直角的菱形是正方形。16.梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。17.直角梯形的定义：有一个角是直角的梯形18.等腰梯形的定义：两腰相等的梯形。19.等腰梯形的性质：等腰梯形同一底边上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等。20.等腰梯形判定定理：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。本章内容是对平面上四边形的分类及性质上的研究,要求学生在学习过程中多动手多 动脑，把自己的发现和知识带入做题中。因此教师在教学时可以多鼓励学生自己总结四边 形的特点，这样有利于学生对知识的把握。第二十章数据的分析第二十章数据的分析一.知识框架.知识概念1.加权平均数：加权平均数的计算公式。权的理解:反映了某个数据在整个数据中的重要 程度。恭抿的代表数据的波动平均数、中位數众数极差|方箜用样本平均数估计总体平均数用样本方差估卄堂体方差252.中位数：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数（median）；如果数据的个数是偶数，则中间两 个数据的平均数就是这组数据的中位数。3.众数：一组数据中岀现次数最多的数据就是这组数据的众数（mode）。4.极差：组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差（range）。5.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，就越稳定。本章内容要求学生在经历数据的收集、整理、分析过程中发展学生的统计意识和数 据处理的方法与能力。在教学过程中，以生活实例为主，让学生体会到数据在生活中的重 要性。九年级数学（上）知识点九年级数学（上）知识点人教版九年级数学上册主要包括了二次根式、二元一次方程、旋转、圆和概率五个章 节的内容。第二十一章二次根式第二十一章二次根式一.知识框架二.知识概念二次根式：一般地，形如（a0）的代数式叫做二次根式。当 a0时，Va 表示 a 的算数 平方根，其中 7。=0对于本章内容，教学中应达到以下几方面要求：1.理解二次根式的概念，了解被开方数必须是非负数的理由；2.了解最简二次根式的概念；3.理解并掌握下列结论：、）插辱）是非负数；（2）（捐）=以 0乏。）；杼=盘/0）；4.掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算；5.了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用。二彼根式是非负数(捐 y=a(a o)4=a(a 0)二次根式的二次根式的化简与运尊化简与运尊二次根式的乘除二次根式的加凝26第二十二章一元二次根式第二十二章一元二次根式一.知识框架ax2+hx+c=O(aO)配方法公式法数学问题的解数学问题的解-b-4acx=-2a二.知识概念一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数 是 2(二次)的方程，叫做一元二次方程.一般地，任何一个关于x的一元二次方程,经过整理,都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a#0).这种形式叫做一元二次方程的一般形式.一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0(a#0)后，其中 ax2是二次项，a是二次项 系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项.本章内容主要要求学生在理解一元二次方程的前提下，通过解方程来解决一些实际问题。(1)运用开平方法解形如(x+m)2=n(nN0)的方程；领会降次转化的数学思想.(2)配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为 1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式;变形为(x+p)2=q的形式，如果qN0，方程的根是x=-pVq；如果qV0,设未如微，列方程数学问题数学问题实际问题实际问题实际问题的答案实际问题的答案介绍配方法时，首先通过实际问题引岀形如的方程。这样的方程可以化为更为简27方程无实根.28单的形如/=的方程，由平方根的概念，可以得到这个方程的解。进而举例说明如何解 形如（弘+狞=P的方程。然后举例说明一元二次方程可以化为形如g+疗=戸的 方程，引岀配方法。最后安排运用配方法解一元二次方程的例题。在例题中，涉及二次项 系数不是1的一元二次方程，也涉及没有实数根的一元二次方程。对于没有实数根的一元 二次方程，学了“公式法”以后，学生对这个内容会有进一步的理解。（3）一元二次方程ax2+bx+c=0（a#0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式 ax2+bx+c=0,当b2-4acN0时，将a、b+J b2 b、c代入式子x=b Yb兰就得到方程的根（公式所岀现的运算，恰好包括了所学2a过的六中运算，力口、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。）这个 式子叫做一元二次方程的求根公式.利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.二.知识概念1.旋转：在平面内，将一个图形绕一个图形按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图 形的旋转。这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。（图形的旋转是图形上的每 一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相 等，对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变。）2.旋转对称中心：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形 叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角（旋转角小于 0，大于360）。293.中心对称图形与中心对称：中心对称图形：如果把一个图形绕着某一点旋转 180度后能与自身重合，那么我们就说，这个图形成中心对称图形。中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转 180度后能与另一个图形重合，那么我们就说,这两个图形成中心对称。4.中心对称的性质：关于中心对称的两个图形是全等形。关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等。本章内容通过让学生经历观察、操作等过程了解旋转的概念，探索旋转的性质，进一 步发展空间观察，培养几何思维和审美意识，在实际问题中体验数学的快乐，激发对学习 学习。第二十四章圆第二十四章圆一.知识框架二.知识概念1.圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称 为半径。2.圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。3.圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分 别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。4.内心和外心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形 的外心。30和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。315.扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。6.圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径称为圆锥的母线。7.圆和点的位置关系：以点 P 与圆 0 的为例（设 P 是一点，则 PO 是点到圆心的距 离），P在0 外，P0r；P 在0 上，P0=r；P 在0 内，POVr。8.直线与圆有 3 种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交,这条直线叫 做圆的割线；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的 公共点叫做切点。9.两圆之间有 5 种位置关系：无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内 含；有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切；有两个公共点的 叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。两圆的半径分别为 R 和 r，且 RNr，圆 心距为 P:外离 PR+r；外切 P=R+r；相交 R-rVPVR+r；内切 P=R-r；内含 PVR-r。10.切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。11.切线的性质：（1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。（2）经过切点垂 直于切线的直线必经过圆心。（3）圆的切线垂直于经过切点的半径。12.垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。13.有关定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径.14.圆的计算公式 1.圆的周长C=2Ji Ji d 2.圆的面积 S=兀;3.扇形弧长l=n 兀 r/18015.扇形面积（骸 2-广 2）5.圆锥侧面积 S=Ji rl第二十五章概率第二十五章概率知识框架用列举法求概率用频率估计概率本章内容要求学生了解事件的可能性，在探究交流中学习体验概率在生活中的乐趣和 实用性，学会计算概率。【概率，又称或然率、机会率或机率、可能性，是数学概率论的基本概念,是一个在0到1之间的实数,是对随机事件发生的可能性的度量。表示一个事件发生的可能性大小的数，叫做该事件的概率。它是随 机事件出现的可能性的量度，同时也是概率论最基本的概念之一。人们常说某人有百分之多少的把握能 通过这次考试，某件事发生的可能性是多少，这都是概率的实例。但如果一件事情发生的概率是1/n，不 是指n次事件里必有一次发生该事件，而是指此事件发生的频率接近于1/n这个数值。普遍认为，人们对将要发生的机率总有一种不好的感觉，或者说不安全感，俗称点背，下面列出的 几个例子可以形象描述人们有时对机率存在的错误的认识：随机事件32 1.六合彩：在六合彩（49 选 6）中，一共有 13983816 种可能性（参阅组合数学），普遍认为，如果每周都买一个不相同的号，最晚可以在 13983816/52（周）=268919 年后获得头等奖。事实上这种理 解是错误的，因为每次中奖的机率是相等的，中奖的可能性并不会因为时间的推移而变大。2.生日悖论：在一个足球场上有 23 个人（2X11 个运动员和 1 个裁判员），不可思议的是，在这 23人当中至少有两个人的生日是在同一天的机率要大于 50%。3.轮盘游戏：在游戏中玩家普遍认为，在连续出现多次红色后，出现黑色的机率会越来越大。这 种判断也是错误的，即出现黑色的机率每次是相等的，因为球本身并没有“记忆”，它不会意识到以前 都发生了什么，其机率始终是 18/37。4.三门问题：在电视台举办的猜隐藏在门后面的汽车的游戏节目中，在参赛者的对面有三扇关闭 的门，其中只有一扇门的后面有一辆汽车，其它两扇门后是山羊。游戏规则是，参赛者先选择一扇他认 为其後面有汽车的门，但是这扇门仍保持关闭状态，紧接著主持人打开没有被参赛者选择的另外两扇门 中後面有山羊的一扇门，这时主持人问参赛者，要不要改变主意，选择另一扇门，以使得赢得汽车的机 率更大一些？正确结果是，如果此时参赛者改变主意而选择另一扇关闭著的门，他赢得汽车的机率会增 加一倍。William wang:2009-01-20:对于 M4.三门问题我有个愚见：参与者的赢得汽车的机率是 50%o因为主持人无论参与者第一次从三扇门挑一扇的时候有没有中都会开一扇后面是山羊的。并且开了 之后还可以让参赛者挑选。这样看来，参赛者实际只需要从两扇门挑一扇。几率是 1/2。这个中奖几率不 需考虑三扇门的时候的几率。n43el20 修订：概率三选一游戏，2009-01T2 同样逻辑的事例：一个监狱看守从三个罪犯中随机选择一个予以释放，其他两个将被处死。警卫知道哪个人是否会被释放,但是不允许给罪犯任何关于其状态的信息。让我们分别称为罪犯为 X,Y,Z.罪犯 X 私下问警卫 Y 或 Z 哪个 会被处死，因为他已经知道他们中至少一个人会死，警卫不能透露任何关于他本人状态的信息。警卫告 诉 X,Y将被处死。X 感到很高兴，因为他认为他或者 Z 将被释放，这意味着他被释放的概率是 1/2。他正 确吗？或者他的机会仍然是 1/3?解：对当事人关键的项的概率公式是：2/3*1/2=1/3说明：2/3 是开始时，选任意一项出错的概率都是 2/3；则选对的概率是 1/3；接下来，去除了一项；1/2 此时对当事人进入子事件组，他做的任意选择，对错对开。这里容易让人误以为接下来，去除任意一项；一与一接下来，有意识的去除某一项；不同接下来，有意识的去除某一项；一与一接下来，去除一个错项；不同这些都是相互独立的事件，类似的和在时间上选择停止生育孩子的点，与生出来的性别的概率，不存在关联。TANKTANK98 修正：这里的几率是指什么几率？我认为，这个问题使得很多人迷糊了，其实这里存在 2 个几率：1.整个开门事件来说，包括从一开始来说，参赛者的几率由 1/3 提高到了 2/3,因为有 3 张门，分别 是参赛者选中的（有 1/3）33另外2张（各1/3），后来主持人确定一个门没有车，这样使得剩下的2张门有车的总几率提升到了 100%，而原来这 2 张门的总几率是 66%,多出的 33%分到了谁头上？2.就参赛者从剩下的 2 张门里面选一个的时候，他得到车子的几率是 50%。几率的对象必须分清楚！是 2 张门选 1 张时候的几率还是从头至尾的几率，的确会迷糊人。毅 U 味尽：.如果此时参赛者改变主意而选择另一扇关闭著的门，他赢得汽车的机率会增加一倍。这种说 法。几率永远都是 50%。.，后验概率会使得下一次反面的几率大的多。哈尔威：正如决胜 21 点的男主角所说的“我一定换，因为那是主持人送给我的概率”事实原 因就在这里选手选择是随机的（33%的机会为车，66%的机会为羊），但是主持人确要在他选到羊的时候（66%）一定要选择剩余的那只羊！当然这种情况下换的结果只能是“车”。那么玩家有在始终选择换的 情况下他只在自己选中车的时候（33%）才会选到羊。此时你在游戏获得车的机会提高了一倍（33%到 66%）所以聪明的你如果去参加这个游戏你会选择换还是不换呢？我想现在你心里已经有答案了。后退思维者，关于三门问题：这是个有前提条件的问题，大家被严重的思维混淆了1、结果：换门，赢取汽车的概率为 2/3,不换门，赢取汽车的概念为 1/3（成立）前提：同一个人玩同一个游戏 3 次以上，那么每次选择换门的话，赢取汽车的概率为 2/32、结果：换门与不换门赢取汽车的概率均为 1/2（成立）前提：同一个人只有一次机会玩同一个游戏，那么在主持人确定一扇门后，他换与不换的概率就是 1/2.2/3 和 1/2 的结果问题就是根本不是同一类别，是概率两大类别，所谓的 2/3 概率是相对一个空间，在100 次的机会中，你将会有 2/3 的机会赢取。1/2 概率是在限定的情况下，发生的概率，所以是不同的。】九年级数学（下）知识点九年级数学（下）知识点人教版九年级数学下册主要包括了二次函数、相似、锐角三角形、投影与视图四个章 节的内容。第二十六章二次函数第二十六章二次函数一.知识框架341.二次函数：一般地，自变量 x 和因变量 y之间存在如下关系：一般式:y=axA2+bx+c(a0,a、b、c为常数),则称 y为 x的二次函数。2.二次函数的解析式三种形式。一般式 y=ax2+bx+c(a#0)bx=-2a与 y轴交点坐标(0，c)4.增减性：当 a0时，对称轴左边，y随 x 增大而减小；对称轴右边，y随 x 增大而增大当 a0时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与 x 轴有两个交点；b2-46ZC=0 时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与 x轴有一个交点；b2-46/C0 时，一元二次方程有不等的实根，二次函数图像与 x轴没有交点二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式岀现.教师 在讲解本章内容时应注重培养学生数形结合的思想和独立思考问题的能力。第二十七章相似第二十七章相似一.知识框架二.知识概念：1.相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。互为相似形的 三角形叫做相似三角形2.相似三角形的判定方法：36根据相似图形的特征来判断。（对应边成比例，对应角相等）1.平行于三角形一边的直线（或两边的延长线）和其他两边相交，所构成的三角形与原三 角形相似；.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相 似；如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相 似；如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；3.直角三角形相似判定定理：1.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。2.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成 的两个直角三角形也相似。4.相似三角形的性质:.相似三角形的一切对应线段（对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半 径、内切圆半径等）的比等于相似比。相似三角形周长的比等于相似比。3.相似三角形面积的比等于相似比的平方。本章内容通过对相似三角形的学习，培养学生认识和观察事物的能力和利用所学 知识解决实际问题的能力第二十八章锐角三角函数第二十八章锐角三角函数一.知识框架37二.知识概念l.RtAABC 中(1)ZA的对边与斜边的比值是 ZA 的正弦，记作 sinA=ZA的对边斜边(2)ZA的邻边与斜边的比值是 ZA 的余弦，记作 cosA=ZA的邻边斜边(3)ZA的对边与邻边的比值是 ZA 的正切，记作 tanA=ZA 的对边ZA 的邻边(4)ZA的邻边与对边的比值是 ZA 的余切，记作 cota=ZA 的邻边ZA 的对边2.特殊值的三角函数:asinacosa tanacota30121返3045並返1112260也212返3本章内容使学生了解在直角三角形中，锐角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边、邻边与对边的比值是固定的；通过实例认识正弦、余弦、正切、余切四个三角函数的定义。并能应用这些概念解决一些实际问题。【三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义 的。其定义城为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中,但并不完全。现代数学把它 们描述成无穷 数 列 的 极 限 和 微 分 方 程 的 解，将 其 定 义 扩 展 到 复 数 系。http:/