２０２３年９月南宁师范大学学报(自然科学版)Sep．２０２３第４０卷第３期JournalofNanningNormalUniversity(NaturalScienceEdition)Vol．４０No．３DOI:１０．１６６０１/j．cnki．issn２０９６Ｇ７３３０．２０２３．０３．００２文章编号:２０９６Ｇ７３３０(２０２３)０３Ｇ０００６Ｇ０４关于丢番图方程组x－１＝３pqu２,x２＋x＋１＝３v２∗管训贵(泰州学院数理学院,江苏泰州２２５３００)摘要:设p＜q均为大于３的素数,该文利用二次和四次丢番图方程的结果证明了,丢番图方程组x－１＝３pqu２,x２＋x＋１＝３v２除了在情形(p,q)＝(７,１８１)时有非平凡的整数解(x,u,v)＝(６０８１７,±４,±３５１１３),在其他情形都仅有平凡的整数解(x,u,v)＝(１,０,±１)．关键词:Pell方程;丢番图方程组;整数解;递归序列中图分类号:O１５６文献标志码:A对于无平方因子的正整数D,求解形如x３±１＝Dy２的丢番图方程一直是引人关注的课题,其中形如x±１＝３Du２,x２∓x＋１＝３v２(１)的方程组是一种重要类型．设p,q为奇素数,文[１,２]分别对D＝pq以及p≡q≡１(mod６)的情形,给出了(１)的全部整数解．文[３]对一般的奇素数p,q,证明了:方程组x＋１＝３pqu２,x２－x＋１＝３v２除在p＝７,q＝１３时有非平凡解(x,u,v)＝(４３６７,±４,±２５２１)外,仅有平凡解(x,u,v)＝(－１,０,±１)．本文完整地解决了(１)中另一个方程组在D＝pq时的情形,即证明了如下定理．定理设p＜q均为大于３的素数,则丢番图方程组x－１＝３pqu２,x２＋x＋１＝３v２(２)除了在情形(p,q)＝(７,１８１)时有非平凡的整数解(x,u,v)＝(６０８１７,±４,±３５１１３),在其他情形都仅有平凡的整数解(x,u,v)＝(１,０,±１)．１若干引理引理１[４]设D为无平方因子的正整数,则Pell方程x２－Dy２＝１(３)有无限多组正整数解．设x０＋y０D是(３)的基本解,则(３)的全部整数解由如下公式给出:x＋yD＝±(x０＋y０D)n,n∈ℤ．由引理１直接可得引理２对于非负整数n,设α＝２＋３,α－＝２－３,且un＝αn＋α－n２,vn＝αn－α－n２３,则(u,v)＝(±un,±vn)为Pell方程u２－３v２＝１的全部整数解．引理３[４]设D＞２为无平方因子的正整数,若方程x２－Dy２＝－２(４)有整数解,设x０＋y０D是(４)的基本解,则(４)的全部整数解由如下公式给出:收稿日期:２０２３Ｇ０１Ｇ１１∗基金项目:江苏省自然科学基金(BK２０１７１３１８);云南省教育厅科学研究基金(２０１９J１１８２);泰州学院教博基金(TZXY２０１８JBJJ...
