关于比式判别法和Ｒａａｂｅ判别法的推广∗张喆刘文军∗基金项目:江西省高等学校教学改革研究课题(编号ＪＸＪＣ－１９－１７－１１)和九江学院教学改革研究重点课题(编号８７０１３０９)的成果之一ꎮ收稿日期:２０２３－７－１６通讯作者:刘文军(１９７３－)ꎬ江西九江人ꎬ副教授ꎮＥｍａｉｌ:２３９５０９４５０９＠ｑｑｃｏｍꎮ(九江学院理学院江西九江３３２００５)摘要:数项级数是数学分析里非常重要的内容ꎬ其中正项级数敛散性的判别方法很多ꎬ比如比较原则、比式判别法、根式判别法等ꎬ但在使用这些方法时ꎬ各自有其局限性.文章主要对正项级数的比式判别法和拉贝(Ｒａａｂｅ)判别法及其极限形式做了较有意义的推广ꎬ并通过一些应用举例对其进行方法分析ꎬ说明推广之后的新方法比原来两种方法更加方便灵活ꎬ应用范围更加广泛.关键词:正项级数ꎬ比式判别法ꎬＲａａｂｅ判别法中图分类号:Ｏ１７３文献标识码:Ａ文章编号:１６７４－９５４５(２０２３)０３－００９６－(０６)ＤＯＩ:１０１９７１７/ｊｃｎｋｉｊｊｕｎ２０２３０３０１８１引言级数的敛散性[１]是研究级数理论时的一项重点研究内容ꎬ比较常见的一项应用就是用于数值计算.数值计算在数学、物理学、经济学等领域中的应用都十分广泛ꎬ而级数在其中的主要作用之一就是对一些无理数的数值近似计算ꎬ比如对于无理数ｅ而言ꎬ可以根据ｅｘ的级数展开将其展开为ｅ＝１＋１＋１２!＋１３!＋＋１ｎ!＋.[１０]级数的数值近似计算在统计物理中也有着很重要的作用ꎬ比如ζｓ()函数ζｓ()≡∑¥ｎ＝１１ｎｓꎬ其中ｓ>１ꎬ其中比较常用的两个级数有∑¥ｎ＝１１ｎ２＝π２６ꎬ∑¥ｎ＝１１ｎ４＝π２９０.[９]能够得到这些结果的主要依据就是要保证级数收敛ꎬ只有保证级数收敛ꎬ才能够通过一系列的计算得到相应的数值.反之ꎬ如果一个级数发散ꎬ那么该级数在数值计算时就无法应用.因此ꎬ必须要通过一些判别法去判别级数的敛散性ꎬ这也是研究级数敛散性判别法的主要原因.正项级数是级数的一个重要分支ꎬ比式判别法和拉贝(Ｒａａｂｅ)判别法是判别正项级数的敛散性的两种判别方法ꎬ主要思想都是利用级数中相邻两项比值的特征来判别级数的敛散性[２].在数学分析和高等数学教材当中ꎬ无论是比式判别法还是Ｒａａｂｅ判别法ꎬ在其判别公式中都是利用了对第ｎ＋１项与第ｎ项的比式的分析ꎬ但是对于一些类似于∑¥ｎ＝２ｋ(ｎ＋ｋ)ｌｎｎ(ｋ>０)这种形式的正项级数ꎬ利用原来的比式判别...
