２０２３年９月南宁师范大学学报(自然科学版)Sep．２０２３第４０卷第３期JournalofNanningNormalUniversity(NaturalScienceEdition)Vol．４０No．３DOI:１０．１６６０１/j．cnki．issn２０９６Ｇ７３３０．２０２３．０３．００４文章编号:２０９６Ｇ７３３０(２０２３)０３Ｇ００１５Ｇ０４关于丢番图方程ay(y＋１)(y＋２)(y＋３)＝bx(x＋１)(x＋２)(x＋３)何宗友(深圳市京田精密科技有限公司,广东深圳５１８１１８)摘要:该文研究丢番图方程ay(y＋１)(y＋２)(y＋３)＝bx(x＋１)(x＋２)(x＋３),其中a,b是互素的正整数．利用高次丢番图方程的结果证明了:当(a,b)＝(８,９)时,该方程仅有一组正整数解(x,y)＝(３２,３３);当(a,b)＝(m２,４p２k)时,该方程没有正整数解,其中m,k是任意正整数,p是素数且gcd(m,２p)＝１．关键词:丢番图方程;Pell方程;高次丢番图方程;正整数解中图分类号:O１５６文献标志码:A设a,b是互素的正整数,丢番图方程ay(y＋１)(y＋２)(y＋３)＝bx(x＋１)(x＋２)(x＋３)(１)是一类基本而又重要的方程．方程(１)的求解问题至今尚未彻底解决,但解决了一些特例:当(a,b)＝(１,２)时方程(１)仅有一组正整数解(x,y)＝(４,５)(CohnJE．[１]);当(a,b)＝(２,３)时方程(１)仅有一组正整数解(x,y)＝(８,９)(曹珍富[２]);当(a,b)＝(３,４)时方程(１)仅有一组正整数解(x,y)＝(１２,１３)(钟梅,邓谋杰[３]);当(a,b)＝(５,６)时方程(１)仅有一组正整数解(x,y)＝(２０,２１)(李益孟,罗明[４]);当(a,b)＝(６,７)时方程(１)仅有一组正整数解(x,y)＝(２４,２５)(胡邦群,罗明[５]);当(a,b)＝(１,３)时方程(１)仅有两组正整数解(x,y)＝(２,３),(５,７)(Ponnupeait[６]);当(a,b)＝(３,５)时方程(１)仅有一组正整数解(x,y)＝(６,７)(罗明,朱德辉,马芙蓉[７]);当(a,b)＝(５,７)时方程(１)仅有一组正整数解(x,y)＝(１０,１１)(林丽娟[８]);当(a,b)＝(１,５)时方程(１)仅有一组正整数解(x,y)＝(１,２)(宣体佐[９]);当(a,b)＝(３,７)时方程(１)仅有一组正整数解(x,y)＝(３,４)(苟莎莎[１０]);当(a,b)＝(５,９)时方程(１)仅有一组正整数解(x,y)＝(５,６)(李振龙,邓谋杰,姬春秋[１１]);当(a,b)＝(７,１１)时方程(１)仅有一组正整数解(x,y)＝(７,８)(张配,罗明[１２]);当(a,b)＝(m２,p２k)时方程(１)没有正整数解(曹珍富[１３]);当(a,b)＝(１,４p２k)时方程(１)没有正整数解(管训贵[１４])．本文利用高次丢番图方程的结果证明了:定理１当(a,b)＝(８,９)时,丢番图方程...
