２０２３.１６＿９３构造直角三角形破解中考压轴题———２０２３年深圳中考数学第１５题解法探究邵旋(安徽省亳州市蒙城县鲲鹏中学ꎬ安徽亳州ꎬ２３３５００)摘要:文章对２０２３年深圳中考数学第１５题解法进行了探究ꎬ从不同角度构造直角三角形ꎬ得到了五种解法.通过求解可以发现ꎬ这类问题通常需要通过构造直角三角形建立已知条件与所求结论之间的逻辑关系ꎬ然后利用直角三角形、全等三角形或相似三角形的性质解决问题.从而提高学生分析问题和解决问题的能力ꎬ提升学生的数学核心素养.关键词:构造ꎻ等腰三角形ꎻ直角三角形ꎻ相似三角形图１１试题呈现题目:如图１ꎬ在△ＡＢＣ中ꎬＡＢ＝ＡＣꎬｔａｎＢ＝３４ꎬ点Ｄ为线段ＢＣ上一动点ꎬ连接ＡＤꎬ将△ＡＢＤ沿ＡＤ翻折得到△ＡＤＥꎬＤＥ交ＡＣ于点ＧꎬＧＥ<ＤＧꎬ且ＡＧ∶ＣＧ＝３∶１ꎬ则Ｓ△ＡＧＥＳ△ＡＤＧ＝.２题目分析根据已知条件“ＡＢ＝ＡＣ”ꎬ易知△ＡＢＣ是等腰三角形ꎬ△ＡＤＥ是由△ＡＢＤ沿ＡＤ翻折得到的ꎬ即△ＡＤＥ与△ＡＢＤ关于直线ＡＤ对称ꎬ所以△ＡＤＥ≌△ＡＤＢ.因此ꎬ本题是以等腰三角形和全等三角形为基本图形ꎬ以三角形面积之比为情境的几何计算问题.本题综合性较强ꎬ对学生而言具有一定的挑战性ꎬ是填空题中的一道压轴题.根据已知条件易得∠Ｂ＝∠Ｃ＝∠Ｅꎬ从而易得△ＡＧＥ∽△ＤＧＣꎬ所以ＡＧＧＣ＝ＤＧＧＥ.由∠Ｃ＝∠Ｅ易知ＡꎬＤꎬＣꎬＥ四点共圆ꎬ由相交弦定理易得ＡＧＧＣ＝ＤＧＧＥ.根据图形特征ꎬ从所求结论来看ꎬ欲求△ＡＧＥ与△ＡＤＧ的面积之比ꎬ有两种基本思路:一是求得ＧＥ∶ＤＧꎬ其理由是△ＡＧＥ与△ＡＤＧ可以看成同高的两个三角形ꎻ二是借助第三个三角形ꎬ分别求得△ＡＧＥ与△ＡＤＧ与第三个三角形的面积之比ꎬ然后再计算△ＡＧＥ与△ＡＤＧ的面积之比.从条件来看ꎬ由ｔａｎＢ＝３４易知ꎬｔａｎＣ＝ｔａｎＥ＝３４ꎬ显然需以∠Ｂꎬ∠Ｃ或∠Ｅ为基础角构造直角三角形ꎬ构建已知条件与所求结论之间的逻辑关系ꎬ然后利用已知条件探寻相关线段之间的关系.因此ꎬ正确构造直角三角形是解决本题的关键之一.３解法探究思路１以∠Ｃ为基础角构造直角三角形图２解法１:如图２ꎬ过点Ａ作ＡＦ⊥ＢＣꎬ垂足为Ｆ.因为ＡＢ＝ＡＣꎬ所以ｔａｎＣ＝ｔａｎＢ＝３４.令ＣＧ＝ｍꎬ则ＡＧ＝３ｍꎬ易知ＡＥ＝ＡＣ＝４ｍ.从而易求得ＡＦ＝１２５ｍꎬＢＦ＝ＣＦ＝１６５ｍ.令ＣＤ＝ｘꎬ则ＤＦ＝１６５ｍ－ｘꎬ所以ＤＥ＝ＢＤ＝３２５ｍ－ｘ.由△ＡＧＥ∽...
