代数计算及通过代数计算进行说理问题例12013年南京市中考第26题已知二次函数y＝a(x－m)2－a(x－m)（a、m为常数，且a≠0）．（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点；（2）设该函数的图像的顶点为C，与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点D．①当△ABC的面积等于1时，求a的值②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值．思路点拨1．第（1）题判断抛物线与x轴有两个交点，容易想到用判别式．事实上，抛物线与x轴的交点A、B的坐标分别为(m,0)、(m＋1,0)，AB＝1．2．当△ABC的面积等于1时，点C到x轴的距离为2．3．当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，C、D到x轴的距离相等．4．本题大量的工作是代入计算，运算比较繁琐，一定要仔细．满分解答（1）由y＝a(x－m)2－a(x－m)＝a(x－m)(x－m－1)，得抛物线与x轴的交点坐标为A(m,0)、B(m＋1,0)．因此不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点．（2）①由y＝a(x－m)2－a(x－m)，得抛物线的顶点坐标为．因为AB＝1，S△ABC＝，所以a＝±8．②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，点C与点D到x轴的距离相等．第一种情况：如图1，C、D重合，此时点D的坐标可以表示为，将代入，得．解得．图1第二种情况：如图2，图3，C、D在x轴两侧，此时点D的坐标可以表示为，将代入，得．解得．图2图3考点伸展第（1）题也可以这样说理：由于由，抛物线的顶点坐标为．当a＞0时，抛物线的开口向上，而顶点在x轴下方，所以抛物线与x轴由两个交点；当a＜0时，抛物线的开口向下，而顶点在x轴上方，所以抛物线与x轴由两个交点．因此不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点．第（1）题也可以用根的判别式Δ说理：由y＝a(x－m)2－a(x－m)＝a[x2－(2m＋1)x＋m2＋m]，得＞0．因此不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点．这种方法是同学们最容易想到的，但是这种方法的运算量很大，一定要仔细．例22013年南昌市中考第25题已知抛物线yn＝－(x－an)2＋an（n为正整数，且0＜a1＜a2＜…＜an）与x轴的交点为An－1(bn－1,0)和An(bn,0)．当n＝1时，第1条抛物线y1＝－(x－a1)2＋a1与x轴的交点为A0(0,0)和A1(b1,0)，其他依此类推（1）求a、b的值及抛物线y2的解析式；（2）抛物线y3的顶点坐标为(_____，_____)；依此类推第n条抛物线yn的顶点坐标为(_____，_____)（用含n的式子表示）；所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是________________；（3）探究下列结论：①若用An－1An表示第n条抛物线被x轴截...
