主讲：薄梓暄粉笔教师粉笔教师招考2019年教师招聘理论精讲——大学数学4第三节积分（二）性质与基本公式1.性质性质1．𝒇𝒙＋𝒈𝒙𝒅𝒙＝𝒇𝒙𝒅𝒙＋𝒈𝒙𝒅𝒙性质2．𝒌𝒇𝒙𝒅𝒙＝𝒌𝒇𝒙𝒅𝒙，（k为常数，k≠0）2.积分公式（1）𝒌𝒅𝒙＝𝒌𝒙＋𝑪(k为常数)（2）𝒙𝝁𝒅𝒙＝𝒙𝝁＋𝟏𝝁＋𝟏＋𝑪（μ≠－1）（3）𝟏𝒙𝒅𝒙＝𝒍𝒏𝒙＋𝑪（4）𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙＝−𝒄𝒐𝒔𝒙＋𝑪（5）𝒆𝒙𝒅𝒙＝𝒆𝒙＋𝑪真题链接1.（2017年河南·填空）𝑒𝑥＋1𝑥𝑑𝑥＝。第三节积分（三）积分方法1.第一类换元积分法（凑微分法）定理1设F（u）为f(u)的原函数，u＝φ(x)可微，则𝑓𝜑𝑥𝜑′𝑥𝑑𝑥＝[𝑓𝑢𝑑𝑢]＝𝐹[𝜑(𝑥)]＋𝐶𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑑𝑥真题链接2.（2016年浙江·单选）求𝑐𝑜𝑠2−3𝑥𝑑𝑥第三节积分（三）积分方法2．第二类换元积分法定理2设x＝φ(t)是单调的可导函数，且在区间内部有φ′(t)≠0，又设𝑓𝜑𝑡𝜑′𝑡具有原函数，则𝑓(𝑥)𝑑𝑥＝[𝑓𝜑𝑡𝜑′𝑡]𝑑𝑡21.xdx例题：求21.xdx例题：求2222sin,(,),cos,arcsin2211sincoscos1cos211[cos2(2)]2221111sin2sincos242211arcsin122xttdxtdttxxdxttdttdttdtdttdtttCtttCxxxC解：令则第三节积分（三）积分方法3.分部积分法𝑢𝑑𝑣＝𝑢𝑣−𝑣𝑑𝑢（其中u,v为x的可导函数）反、对、幂、三、指𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥＝。第三节积分二、定积分（一）定积分的几何意义设𝑓(𝑥)是[a，b]上的连续函数，由曲线𝑦＝𝑓(𝑥)及直线x＝a，x＝b，y＝0所围成的曲边梯形的面积记为A.定积分有如下几何意义：（1）当𝑓(𝑥)≥0时，𝑓𝑥𝑑𝑥＝𝐴𝑏𝑎（2）当𝑓(𝑥)≤0时，𝑓𝑥𝑑𝑥＝−𝐴𝑏𝑎第三节积分二、定积分（二）定积分性质𝒌𝒇𝒙𝒅𝒙＝𝒌𝒃𝒂𝒇𝒙𝒅𝒙𝒃𝒂[𝒇𝒙±𝒈𝒙]𝒅𝒙＝𝒇𝒙𝒅𝒙±𝒃𝒂𝒃𝒂𝒈𝒙𝒅𝒙𝒃𝒂𝒇𝒙𝒅𝒙＝𝒇𝒙𝒅𝒙＋𝒄𝒂𝒃𝒂𝒇𝒙𝒅𝒙𝒃𝒄𝒄𝒅𝒙＝𝒄(𝒃−𝒂)𝒃𝒂(c为常数)第三节积分二、定积分（三）牛顿—莱布尼兹公式如果函数𝑓(𝑥)在区间[a，b]上连续，且F(x)是𝑓(𝑥)的任意一个原函数，那么𝑓𝑥𝑑𝑥＝𝐹𝑥𝑏𝑎＝𝐹𝑏−𝐹(𝑎)𝑏𝑎上述公式称为牛顿—莱布尼兹（Newton－Leibniz）公式，又称为微积分基本公式.第三节积分二、定积分（四）定积分方法1.换元积分法设函数f(x)在区间[a，b]上连续，并且满足下列条件：（1）x＝φ(t)，且a＝φ(α)，b＝φ(β)；（2）φ(t)在区间[α,β]上单调且有连续的导数φ′(t)；（3）当t从α变到β时，φ从a单调地变到b,则有𝑓(𝑥)𝑑𝑥...
