第十二章全等三角形12.3角的平分线的性质12.3.1角的平分线的性质小明家刚好位于两条公路所成角的平分线上，现在小明要步行到公路上坐车去两条公路交汇处的超市。问题1：他该怎样走到公路1最节省时间呢？到公路2呢？助人为乐公路2公路1问题2：你知道走哪条路最近吗？超市用纸剪一个角，把纸片对折，使角的两边叠合在一起，把对折后的纸片继续折一次，折出一个直三角形（使第一次的折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕.动手与操作趣味折纸公路2公路1超市=数据收集PDPE第一位同学第二位同学第三位同学…观察表格中的数据说说你有什么发现？重大发现角的平分线上的点到角的两边的距离相等。当真如此吗？公路2公路1超市验证猜想几何模型21OABP你能用所学过的方法证明PA=PB吗？证明： OP是∠AOB的平分线∴∠1=∠2在△OAP和△OBP中∠1=∠2（已证）∴△OAP≌△OBP（AAS）∴PA=PB（全等三角形对应边相等） PA⊥OA于A，PB⊥OB于B∴∠OAP=∠OBP=90°∠OAP=∠OBP（已证）OP=OP（公共边）探究结果角的平分线上的点到角的两边的距离相等.角平分线的性质PD⊥OA于D，PE⊥OB于E OP平分∠AOB∴PD=PE.几何语言：一平分两垂直得相等（角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）AOBPED例1已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.求证:EB=FC.BAEDCF【解析】根据角平分线的性质得到DE=DF，再根据HL证△BED≌△CFD,从而得到EB=FC.证明： AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB,DF⊥AC，∴DE=DF,DEB=DFC∠∠=90°.在Rt△BDE和Rt△CDF中，DE=DF，BD=CD，∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).∴EB=FC.BAEDCF直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有()A.一处B.两处C.三处D.四处【解析】由于没有限制在何处选址,根据题目要求到三条公路的距离相等，中转站需在内、外角的平分线的交点处，即A、B、C、D处各有一个.ADCB例2DABCP如图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4，AB=14.（1）求△APB的面积；D14PDBCPDPBDBPCPBDBBCDBADDBAB（2）求∆PDB的周长.·AB·PD=28.12PDBS解：（1）如图，过点P作PD⊥AB,由角平分线的性质，可知，PD=PC=4，.例3（2）在Rt△APC和Rt△APD中，PC=PD，AP=AP，∴Rt△APC≌Rt△APD(HL)，∴AC＝AD=BC.初中数学随堂训练1.用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（...
