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一、变分和微分简介自变量x函数)x(函数)x(f泛函数)(F微分dx)x('fdf变分)(F)(FF当0x0对任意的dx都有0df，则该函数)x(f在0x处取极值。当0对任意都有0F,则该泛函数)(F在0点取极值。泛函数求极值的问题叫变分问题。二、变分法在量子力学中能量本征值问题可转化为变分问题，即构造一个泛函数，对泛函数求极值可得到能量本征值问题的解，这种方法叫变分法。变分法不受微扰论条件的限制，而且对求解体系的基态能量和波函数又非常简便，因此它也是求解定态问题的近似解法的常用而有效的方法之一。具体的说，就是构造一个泛函数d*dHˆ*H其中Hˆ为体系的哈密顿算符，为任意的态函数，即：dHˆ*d*H求变分得dHˆ*dHˆ*]d*d*[Hd*H则:d*/]d)HHˆ(*d)HHˆ(*[H如0时，对于任意的或*都有0H，则要求0)HHˆ(0极值或0**)HHˆ(0极值这个定理反过来也成立.即H在0处取得极值的充分必要条件是0)HHˆ(0极值。可证H的最小值就是体系的基态能量0E，因此求体系的基态能量就等价于求泛函d*dHˆ*H的最小值。三、定理：在任意波函数描写的状态中，能量平均值H恒不小于体系的基态能量0E，并且仅在等于基态波函数0时00|d*dHˆ*|HE0证明：设体系的哈密顿Hˆ的本征值依次从小到大排列为...E...EEn10假定本征值为非简并且组成分立谱（这些假设对结果无影响），对应的波函数依次为,...,...,,n10，且}{n组成正交归一的完全系，则有：nnnEHˆ(1)设为任意归一化的波函数，则可将按}{n展开为nnna或m*m*ma*(2)在态中,体系的能量平均值为：dHˆ*H(d*dHˆ*H)(3)将(2)代入(3)且利用(1)nnnEHˆ得：mnnn*m*mdaHˆaH=n,mn*mn*mdHˆaan,mn2nnn,mnn*mEaEaa(4)而由于0E为基态能量，按假设有,...)3,2,1,0n(,EEn0则利用了归一化条件n2n1a1d*，上式可表示为：nn02n0n2nEaEEaH(5)即：0EdHˆ*H(6)其中仅当0，00*0EdHˆH，即H的平均值等于基态能量0E。若不是归一化的，则(6)可写为0Ed*/dHˆ*H(7)其中等号只有当0...